Satélite en órbita circular empieza a describir trayectoria elíptica

[luisdlr]

¡Buenos días!

Quisiera pedir ayuda con un ejercicio de gravitación y satélites que me ha resultado bastante complicado. El enunciado es el siguiente:

Un satélite de 800 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra con un radio de 15000 km. Se lanza con un ángulo de 60º respecto la dirección radial sin variar la velocidad que lleva, y empieza a describir una trayectoria elítpica.

a) Calcula la posición del apogeo y del perigeo de esta nueva órbita.
b) Calcula la energía cinética inicial en el apogeo y en el perigeo.
c) Determina el período orbital en horas.

Pensé que sería más sencillo pero ese cambio de órbita me ha dejado loco... La velocidad en la órbita circular es sencillo calcularla, pero a partir de ahí, no sé qué hacer con el ángulo de 60º y cómo llegar a las posiciones de apogeo y perigeo

Muchísimas gracias de antemano por toda vuestra ayuda. Os agradezco muchísimo todo lo que me ayudáis y el trabajo que hacéis en este foro.

Saludos cordiales

[Richard R Richard]

Hola utiliza las ecuaciones de conservación de la energía para hallar el valor del momento angular en la nueva trayectoria.
Energía inicial

$E=\dfrac12mv_t^2-\dfrac{GMm}{r}$

Energía final

$E=\dfrac12mv_r^2+\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$

Donde $v_r=v_t\cos\alpha$

La velocidad radial al momento de cambiar la trayectoria es igual a la velocidad tangencial que traía en la órbita circular multiplicada por el coseno del ángulo respecto de la vertical.

iguala las dos energías y despeja L el momento angular, este se conserva en la nueva órbita.
Los radios del apogeo y perineo resultan de igualar la misma ecuación de la energía para el caso en que la velocidad radial es cero.


$E=\dfrac{L^2}{2mr_x^2}-\dfrac{GMm}{r_x}$

hallar $r_x$ requiere resolver una cuadratica cuyos dos resultados son los del radio en el perigeo y en el apogeo.

Puedes veo otras formas de encarar la resolución en el blog de Alriga , tiene una entrada muy chula cálculo de velocidades en órbitas elípticas

Saludos

[China]

Hola, revise este hilo hace unos días que Alriga me desvió aquí pues pregunté por este problema, la cuestión es que no entiendo por qué la energía cinética se descompone en radial y tangencial, si no es una magnitud vectorial.

[Richard R Richard]

Al descomponer la energía de esa manera, puedes analizar en un simple vistazo si la orbita es circular o elíptica, si es circular la energía cinetica radial es nula y si esta cayendo directamente a la tierra el momento angular es nulo y la energía cinetica tangencial será nula.
Mas que nada se usa para que analices lo que llamamos potencial efectivo. https://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_efectivo

Si tienes mas dudas pregunta al final de hilo con el botón responder

[luisdlr]

¡Muchísimas gracias!

La verdad es que con la explicación lo he entendido genial, y he logrado calcular los radios de perigeo y apogeo. Una pregunta rápida, estos radios que he sacado al resolver la cuadrática, son ya los radios de perigeo y apogeo, ¿o tendría que restarles el radio de la Tierra?

Con respecto a la energía cinética, estoy intentando sacar la velocidad de perigeo y apogeo utilizando el parámetro de la excentricidad de la órbita. En estas expresiones que he sacado de la entrada de Alriga (muchísimas gracias por ello, está genial), donde pone r_p y r_a, debería poner mis resultados de r_x, o tengo que sumar/restar el radio de la Tierra?

Mi siguiente pregunta sería ya cómo calcular la velocidad de uno de los dos (apogeo o perigeo), y así calcular la del otro. ¿Sería a partir del momento angular de la órbita elíptica?

Muchísimas gracias nuevamente,

Saludos cordiales

[Richard R Richard]

Lo que obtuviste es la distancia entre la órbita y el centro de la tierra , si quieres hallar la altura desde la superficie terrestre a los radios le deberías restar el radio de la tierra.
Las fórmulas tanto las que propuse como las del blog usan radios (distancia al centro)no la altura respecto a la superficie .
Si todo esta bien con los resultados rx directos puedes hallar la velocidad dividiendo el momento angular por el radio en cada caso.
Otra forma sería hallar los semiejes de la elipse de la órbita y operar con estas para hallar las velocidades, con las fórmulas del blog.

[Alriga]

Un satélite de 800 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra con un radio de 15000 km. Se lanza con un ángulo de 60º respecto la dirección radial sin variar la velocidad que lleva, y empieza a describir una trayectoria elíptica....

No entendía muy bien el enunciado hasta que he leído a Richard R Richard . Ahora creo entender que lo que quiere decir el enunciado es lo de este esquema de abajo:

La velocidad inicial "de lanzamiento" nos dicen que coincide en módulo con la de la órbita circular, que se calcula:

$v_0=\sqrt{\dfrac{G \ M}{r_0}}$

$v_0=\sqrt{\dfrac{6.6743\cdot 10^{-11} \cdot 5.9722\cdot 10^{24}}{15000000}}=5154.95$ m/s

Usaré las expresiones que aparecen en: Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas. Las unidades son las del S.I.

La energía específica (que se conservará) :

$\varepsilon =\dfrac{v_0^2}2-\dfrac{GM}{r_0}$

$\varepsilon=-13.2868\cdot 10^6$ J/kg

Como nos ha salido energía negativa, eso confirma que la nueva trayectoria será elíptica. El semieje mayor de la órbita elíptica:

$a=-\dfrac{GM}{2\varepsilon}$

$a=15 \ 000 \ 000$ m

El momento angular específico (que se conservará) :

$h=r_0 \cdot v_0 \ \sin 60^o = 66.9648\cdot 10^9 \ (kg \ m^2/s)/kg= 66.9648\cdot 10^9 \, m^2/s$

a) Calcula la posición del apogeo y del perigeo de esta nueva órbita

Calculamos primero la excentricidad de la órbita elíptica:

$e=\sqrt{1-\dfrac{h^2}{G M a} \ }$

$e=0.5$

Apogeo:

$r_a=a \ (1+e)$

$r_a=22 \ 500 \ 000$ m

Perigeo:

$r_p=a \ (1-e)$

$r_p=7 \ 500 \ 000$ m

b) Calcula la energía cinética inicial en el apogeo y en el perigeo

En el apogeo y en el perigeo las velocidades son perpendiculares a los radio-vectores:

$h=r_a v_a \sin \dfrac{\pi}2$

$h=r_p v_p \sin \dfrac{\pi}2$

$v_a=\dfrac h{r_a}$

$v_a=2976.21$ m/s

$v_p=\dfrac h{r_p}$

$v_p=8928.63$ m/s

$E_{c_a}=\dfrac 1 2 m v_a^2$

$m=800$ kg

$E_{c_a}=3.54313\cdot 10^9$ J

$E_{c_p}=\dfrac 1 2 m v_p^2$

$E_{c_p}=31.8882\cdot 10^9$ J

c) Determina el período orbital en horas

Aplicaremos la 3ª ley de Kepler

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{G M} \ a^3$

$T=18282.97 \ s = 5.0786 \ h$

Saludos.

[Richard R Richard]

Saludos.

Solo una acotación , tambien podría escogerse que la velocidad radial sea negativa al inicio, acercándose a la tierra, igualmente todos los parámetros resultarían iguales , solo variaría la posición del apogeo y perigeo en el esquema, todo lo cálculos resultarían iguales y las dimensiones la elipse resultarían iguales .


Hubiese sido mejor que se enunciase "60 ° respecto del sentido positivo de la dirección radial" explícitamente, aunque intuitivamente, Alriga bien lo supuso.