Pelota se mueve en circunferencia horizontal

[luisdlr]

Buenos días,

Me gustaría pedir ayuda para resolver un ejercicio de Física que me ha resultado complicado. El enunciado es el siguiente:

Una pelota pequeña de masa m se mueve en una circunferencia horizontal, a una altura h, en la superficie interior de un cuenco semiesférico, de radio R, sin rozamiento, como se muestra en la figura:


a. Calcule el periodo de revolución de la pelota en función de los datos aportados.

b. Se desplaza ahora la pelota una pequeña distancia x desde el fondo del cuenco y se suelta desde el reposo. Calcule la frecuencia de las oscilaciones que se producen.



Estos problemas de mecánica se me atragantan mucho... Muchísimas gracias por toda vuestra ayuda.

Saludos cordiales

[Alriga]

Una pelota pequeña de masa m se mueve en una circunferencia horizontal, a una altura h, en la superficie interior de un cuenco semiesférico, de radio R, sin rozamiento, como se muestra en la figura:

a. Calcule el periodo de revolución de la pelota en función de los datos aportados...

Vamos a por el primero, nuestro objetivo es encontrar el valor de la fuerza centrípeta $F$ que debe ser horizontal para que la pelota no "suba" ni "baje" por la pared del bol. Considerando la pelota puntual, del dibujo vemos:

$\tan A=\dfrac F{mg}$

Por geometría, con $r$ el radio de giro:

$\tan A=\dfrac r{R-h}$

Por lo tanto:

$F=m g \ \dfrac r{R-h}$

La aceleración del movimiento circular:

$a=w^2 r$

La segunda ley de Newton

$F=m a$

$\cancel m \ g \ \dfrac{\cancel r}{R-h}=\cancel m \ w^2 \ \cancel r$

Ya está, de aquí puedes despejar la frecuencia angular y a partir de ella calcular el periodo de revolución de la pelota

$w=\sqrt{\dfrac g{R-h}}$

$T=\dfrac{2\pi}w$

Saludos.

[Alriga]

b. Se desplaza ahora la pelota una pequeña distancia x desde el fondo del cuenco y se suelta desde el reposo. Calcule la frecuencia de las oscilaciones que se producen.

Consideramos la pelota puntual. Llamo A al ángulo formado por R y R en el dibujo. La fuerza tangencial es

$F_t=m g \sin A$

Por definición de ángulo:

$A=\dfrac x R$

Como nos dicen que "x es muy pequeño" podemos asimilar el seno al ángulo:

$\sin A \simeq A=\dfrac x R$

$F_t=\dfrac{m g x}R$

La aceleración tangencial

$a_t=\dfrac{g x}R$

Como nos dicen que "x es muy pequeño" podemos asimilar el movimiento a un movimiento armónico simple de aceleración:

$a=\dfrac{g x}R$

En un movimiento armónico simple se cumple:

$a=w^2 x$

Igualando y despejando

$w=\sqrt{\dfrac g R}$

La frecuencia:

$f=\dfrac w{2\pi}$

Saludos.