1r ciclo Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

[SCHRODINGER27]

Hola, el siguiente problema me plantea muchas dudas, no sé por dónde afrontarlo:

Dos masas de 3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa por una polea en forma de disco $I=\frac{1}{2}MR^2$ de 0.5 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos cuerpos deslizan sobre un plano horizontal y otro inclinado 60º. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los planos inclinados son 0.1 y 0.3 respectivamente.

Calcular la velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m sobre los planos respectivos partiendo del reposo mediante la aplicación:
a) de las leyes de Newton.
b) del balance energético.


No sé cómo puedo hallar una distancia por la ley de Newton y por energías se me plantea que obtendría un sistema bastante grande, creo.

Muchas gracias de antemano, me están ayudando muchísimo y estaré eternamente agradecido, dentro de poco es el examen y me están ayudando con las dudas finales.

[felmon38]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

Por Newton sacas la aceleracion de los bloques y así puedes obtener la velocidad en función de la distancia recorrida.
Por el teorema de la energía cinética, obtienes directamente la velocidad en función de la distancia recorrida.
Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

El apartado a) creo que sí sé hacerlo, obtengo que la aceleración es $a=3.23 m/s^2$ y que la velocidad es por tanto $v=5.68 m/s$. No sé si es correcto, ¿alguien podría confirmarlo? El apartado b), por energías, no termino de entenderlo, no sé cómo hacerlo... Gracias

[felmon38]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

El apartado b) por el teorema de la energía cinética sería:

m₂gd/senα-m₁gμ₁d-m₂gμ₂dcosα=(m₁+m₂)v²/2+I.(v²/R²)/2

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

Pues no me da lo mismo, según lo que has puesto, obtengo que $v=6.08 m/s$. ¿En qué puedo estar fallando? ¿Es correcto mi resultado del apartado a)?

[Richard R Richard]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

Subindice 1 para el cuerpo de 3 Kg que esta en el plano horizontal

Aplicando Newton al cuerpo 1

$$-\mu_1m_1g+T_1=m_1a$$

Aplicando Newton al cuerpo 2

$$-\mu_2m_2g\cos \theta-T_2+m_2g\sin\theta=m_2a$$

Aplicando momentos a la polea

$$(T_2-T_1)R=I\alpha$$

sabiendo que $a=\alpha R$ podemos ecribir la 3 como

$$T_2-T_1=\dfrac{Ia}{R^2}$$

sumando miembro a miembro la 1 2 y 3'

$$-\mu_1m_1g-\mu_2m_2g\cos \theta+m_2g\sin\theta=m_1a+m_2a+\dfrac{Ia}{R^2}=a(m_1+m_2+\dfrac{I}{R^2})$$

de donde puedes despejar la aceleración y usarla en

$v=\sqrt{2a\Delta x}$


Por energías tienes que la diferencia la energía mecanica final y la inicial es igual a menos el trabajo que realizaron las fuerzas de rozamiento

$$E_{mi}=m_2g\Delta x \sin \theta$$

$$E_{mf}=\frac 12 m_1 v^2+\frac 12 m_2 v^2+\frac 12 I \dfrac{v^2}{R^2}=v^2(\frac 12 m_1+\frac 12 m_2+\dfrac I{R^2})$$

$$W=W_1+W_2=\mu_1m_1g\Delta x+\mu_2m_2g\cos\theta\Delta x$$

entonces

$$E_{mf}-E_{mi}=-W$$

que sale

$$v^2(\frac 12 m_1+\frac 12 m_2+\frac 12 \dfrac I{R^2})-m_2g\Delta x \sin \theta=-\mu_1m_1g\Delta x-\mu_2m_2g\cos\theta\Delta x$$

y llegas al mismo resultado si no me he equivocado en nada

[SCHRODINGER27]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

Gracias Richard R Richard, entiendo el procedimiento y bueno, comprendo las expresiones. El problema es que numéricamente no me da lo mismo, puedo haberme equivocado, así que supongo que estará bien, por lo menos la expresión.

[felmon38]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

Schrodinger, como veo que hay discrepancia en los resultados, espero que hayas corregido en la ecuación 9ª de ℝ³, al que tanto debemos, la falta del factor 1/2 (creo).
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

de la ecuación 4

$$a =\dfrac{-\mu_1m_1g-\mu_2m_2g\cos \theta+m_2g\sin\theta}{m_1+m_2+\dfrac{I}{R^2}}$$

entonces

$$v^2=2a\Delta x=2\Delta x\dfrac{-\mu_1m_1g-\mu_2m_2g\cos \theta+m_2g\sin\theta}{m_1+m_2+\dfrac{I}{R^2}}$$

y de 9 que corregi la falta del 1/2

$$v^2(\frac 12 m_1+\frac 12 m_2+\frac 12 \dfrac I{R^2})-m_2g\Delta x \sin \theta=-\mu_1m_1g\Delta x-\mu_2m_2g\cos\theta\Delta x<br />$$

entonces

$$v^2=\dfrac{m_2g\Delta x \sin \theta-\mu_1m_1g\Delta x-\mu_2m_2g\cos\theta\Delta x}{\frac 12 m_1+\frac 12 m_2+\frac 12 \dfrac I{R^2}}$$

rearreglando, y sacando factor comun

$$\boxed{v^2=2\Delta x\dfrac{-\mu_1m_1g-\mu_2m_2g\cos \theta+m_2g\sin\theta}{m_1+m_2+\dfrac{I}{R^2}}}$$

[SCHRODINGER27]

Re: Sistema masas-polea deslizando. Velocidades de los bloques por distintos metodos

Gracias a ambos, finalmente ya lo he conseguido resolver y cuadran ambos resultados. Muchas gracias por la ayuda prestada!