Gravitación

[pilimafiqui]

El Messenger es una misión especial de la Nasa, lanzada rumbo a Mercurio y que entró en órbita alrededor de ese planeta en marzo de 2011 . En abril de 2011 se encontraba a una distancia de 10124Km del centro de Mercurio y el periodo de Messenger fue de 12 horas y 2 minutos. Con estos y conociendo el valor de la constante de la gravitación Universal y el radio de Mercurio de 2440 Km , calcular:
a) La velocidad orbital a la que se estará moviendo Messenger.
b) La masa de Mercurio
c) Los valores de la energía cinética y potencial de la sonda espacial en ese instante, teniendo en cuenta que la masa de esa sonda espacial es 485Kg.
d) La velocidad con que llegaría a Mercurio si por alguna circunstancia el satélite pierde su velocidad orbital.
Los apartados a, b, y c los hice pero el último no lo doy hecho.

[JCB]

Hola a tod@s.

Interpreto que la velocidad orbital del satélite pasaría a ser nula, mediante el choque contra alguna otra masa, por ejemplo. Como el satélite “pierde” su energía cinética después del incidente, solo dispone de energía potencial gravitatoria.

$E_1=\cancelto{0}{E_{c1}}+E_{pg1}=-\dfrac{GMm}{r}$

Cuando llegue a la superficie de Mercurio, su energía mecánica será

$E_2=E_{c2}+E_{pg2}=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{GMm}{R}$

Igualando $E_1$ con $E_2$, y despejando $v$,

$v=\sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right)}=3.685,17\ m/s$

Saludos cordiales,
JCB.

[pilimafiqui]

Yo pensé que al perder la velocidad orbital, en ese momento tendría que tener otra velocidad para poder llegar a Mercurio

[JCB]

Hola a tod@s.

Cuando el satélite deja de tener velocidad orbital, queda en situación de caída libre, sin velocidad inicial. También puedes plantear

$a=-\dfrac{GM}{r^2}$

$\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{GM}{r^2}$

$\dfrac{dv}{dr}\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{GM}{r^2}$

$\dfrac{dv}{dr}v=-\dfrac{GM}{r^2}$

$vdv=-\dfrac{GM}{r^2}dr$. Integrando la velocidad entre y $v$, y la distancia (al centro de Mercurio) entre $r$ y $R$, llegarás a la misma expresión que la del mensaje # 2,

$v=\sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right)}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Perdón por la intromisión tiquismiquis, en aras de la rigurosidad en el uso del lenguaje de la Física, recordar que “caída libre” es cualquier movimiento de un cuerpo donde la gravedad es la única fuerza que actúa sobre él, y por lo tanto el movimiento no tiene por qué ser rectilíneo, ejemplos:

La Luna está en “caída libre” respecto de la Tierra, la Tierra “en caída libre” respecto del Sol. Si lanzo una pelota hacia arriba, la pelota está “en caída libre” aunque inicialmente esté subiendo en el momento en que la suelto de mi mano.

Cuando el compañero JCB dice:

...Cuando el satélite deja de tener velocidad orbital, queda en situación de caída libre, sin velocidad inicial...

Entiendo que quiere decir: Cuando el satélite deja de tener velocidad orbital, queda en situación de caída en movimiento rectilíneo, sin velocidad inicial... ya que el satélite, excepto cuando tiene los motores encendidos, está siempre en "caída libre" cuando orbita Mercurio.

pilimafiqui , si estás estudiando estos temas puede interesarte consultar Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Saludos.

[JCB]

Gracias Alriga por tus aclaraciones. Intentaré ser más riguroso, porque como aficionado a la Física, soy consciente de que cometo muchos deslices.