Determinar aceleración inicial y expresión de la posición en función de t de un proyectil.

[medina00]

Considere un proyectil que entra en un medio viscoso con una velocidad v0. La partícula recorre 4m
antes de quedar en reposo. La velocidad en este medio viscoso esta dada por v = v0 - kx. Considere que v0 = 900 m/s
a) Determinar la aceleración inicial del proyectil Rpta.: -202500 m/s2
b) Obtener la expresión general de la posición, x, en función del tiempo

No se como plantearlo. Mi idea inicial es obtener el valor de k, creo que necesito para ello el valor del módulo de v en t=4s pero no se como calcular su módulo.
He pensado en utilizar las fórmulas de M.R.U.A pero no se que obtener de ellas.

[Alriga]

Considere un proyectil que entra en un medio viscoso con una velocidad v0. La partícula recorre 4m
antes de quedar en reposo. La velocidad en este medio viscoso esta dada por v = v0 - kx. Considere que v0 = 900 m/s
a) Determinar la aceleración inicial del proyectil Rpta.: -202500 m/s2

Nos dicen: $v=900-kx$ y que cuando $x=4 \to v=0$ Por lo tanto:

$0=900-k\cdot 4 \to k=225$

$$v=900-225x$$

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

$a=\dfrac{dv}{dt}$

Aplicando la regla de la cadena:

$a=\dfrac{dv}{dx} \ \dfrac{dx}{dt}$

$\dfrac{dv}{dx}=-225$

$\dfrac{dx}{dt}=v$

Sustituyendo:

$a=-225 \ v$

$$a=-225 (900-225 x)$$

La aceleración inicial

$$a(x=0)=-225\cdot 900=-202500 \ m/s^2$$

Saludos

[medina00]

Muchas gracias por la explicación!! Lo único no entiendo porque al derivar la velocidad en función del tiempo también debo derivar x en función de t

[Alriga]

b) Obtener la expresión general de la posición, x, en función del tiempo

$v=\dfrac{dx}{dt}$

$\dfrac{dx}{dt}=900-225x$

Ecuación diferencial en variables separadas

$\dfrac{dx}{900-225x}=dt$

Integrando a ambos lados:

$t=-\dfrac 1{225} \ \ln(4-x)+C$

Imponemos la condición inicial para calcular la constante de integración:

$0=-\dfrac{\ln 4}{225}+C$

$C=\dfrac{\ln 4}{225}$

Por lo tanto:

$t=-\dfrac 1{225} \Big ( \ln(4-x)-\ln 4 \Big )$

$t=-\dfrac 1{225} \ \ln \dfrac{4-x}4$

$\ln \dfrac{4-x}4=-225 t$

$\dfrac{4-x}4=e^{-225 t}$

Despejando:

$$x=4\Big (1-e^{-225 t} \Big )$$

No te lo piden, pero derivando podemos obtener las expresiones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo

$v=\dfrac{dx}{dt}$

$$v=900 \ e^{-225 t}$$

$a=\dfrac{dv}{dt}$

$$a=-202500 \ e^{-225 t}$$

Saludos.

[Alriga]

Lo único no entiendo porque al derivar la velocidad en función del tiempo también debo derivar x en función de t

Seguramente te está despistando un poco la nomenclatura, si observas verás que simplemente estoy aplicando la regla de "derivar una función de función" Lo explico con palabras a ver si lo entiendes mejor: queremos derivar la función:

$v(x)=900-225x$

respecto del tiempo. Pero vemos que en la función $v(x)=900-225x$ no aparece explícitamente la variable tiempo, el tiempo "está oculto dentro de x" es decir

$v(t)=900-225\cdot x(t)$

Si quiero conseguir la derivada de $v$ respecto de $t$ primero derivo $v$ respecto de $x$ y obtengo

$\dfrac{dv}{dx}=-225$

Pero eso no es suficiente, la regla de derivar "función de función" (llamada también regla de la cadena) me dice que falta multiplicar por la derivada de $x$ respecto del tiempo, es decir falta multiplicar por

$\dfrac{dx}{dt}$

Y sabemos que, por definición, la derivada de $x$ respecto del tiempo es la velocidad

$\dfrac{dx}{dt}=v$

Por lo tanto

$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}=-225 \ \dfrac{dx}{dt}=-225 \ v$


Observa que esto no es nada diferente a como hallas la derivada respecto del tiempo de, por ejemplo, la función $\sin (3t^2)$

Primero consideras una variable intermedia que podemos llamar $x=3t^2$ y derivas respecto de $x$

$\dfrac{d}{dx} \sin x=\cos x =\cos (3t^2)$

Pero aun no has acabado, falta multiplicar por la derivada de $x$ respecto del tiempo

$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac d{dt} 3t^2=6t$

Obtenemos:

$\dfrac d{dt} \sin (3t^2)=\cos (3t^2) \cdot 6t$

Que podemos detallar escribiendo que si

$x=3t^2$

$\dfrac d{dt} \sin (3t^2)=\dfrac d{dx} \sin x \cdot \dfrac{dx}{dt}$

En general siempre se cumple (regla de la cadena) que si tenemos una función $u$ de $x$

$u(x)$

en la que $x$ es función de $t$

$x(t)$

Entonces

$$\dfrac{du}{dt}=\dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}$$

Saludos.

[medina00]

Integrando a ambos lados:

$t=-\dfrac 1{225} \ \ln(4-x)+C$

¿En este paso no debería aparecer el 900?

[medina00]

Ya me he dado cuenta de mi fallo, gracias!

[Alriga]

¿En este paso no debería aparecer el 900?

Es simplemente, que antes de integrar he simplificado:

$\dfrac{dx}{900-225x}=\dfrac{dx}{225 (4-x)}$

$\dst \int \dfrac{dx}{225 (4-x)}=-\dfrac 1{225} \ \ln (4-x)+C$

Saludos.