Calcular distancia total recorrida

[medina00]

Al comenzar un test, un coche acelera desde el reposo con aceleración constante de 10 m/s2. Al recorrer 500 metros,
se despliegan los paracaídas de frenado y el coche comienza a frenar con una aceleración de a=-k v donde k = 0,01 s-1
y v es la velocidad (en m/s). Cuando el coche llega a una velocidad segura de 10 m/s damos por finalizado el test.
Calcular: a) El tiempo trascurrido y velocidad cuando se abre el paracaídas. Rpta: t= 10s, v=100m/s . b) El tiempo
que dura el test. Rpta: 240 s. c) La distancia total recorrida por el coche hasta finalizar el test. Rpta: 9000 m

¿Alguien puede explicarme el apartado c? Entiendo que $a=\frac{dv}{dt}$ pero no se desarrollar ni porque debo elegir esos diferenciales, he visto la solución y utiliza $a=\frac{dv}{dt}*\frac{dx}{dx}$ si alguien podría explicarme como se desarrolla la regla de la cadena y por que usar esos diferenciales lo agradecería muchisimo.

[Richard R Richard]

Hola, a ver si te sirve

si la aceleración al principio es constante entonces puedes hacer 500m=\dfrac12 \ 10 m/s^2 t^2 y con eso sacar que el tiempo es 10s y la velocidad alcanzada es $v=at=10m/s^2\cdot 10s=100m/s$

ahora cuando pones el paracaídas tu tienes que

$a=-k v$

$\dfrac{dv}{dt}=-kv$

aplicas separación de variables para resolver la ecuación diferencial

$\dfrac{dv}{v}=-k dt$

$\dst\int\limits_{v_0}^{v_f} \dfrac{dv}{v}=\int\limits_{t_0}^{t_f}-k\ dt$

$$\dst ln(v)\Vert_{v_0}^{v_f} =-kt\Vert_{t_0}^{t_f}$$

tenemos $v_0 =100m/s \ , v_f=10m/s \ , k=0.01 s^{-1} \ , t_0=0s$ y $t_f$ es la incógnita

$ln(10)-ln(100)=ln(\dfrac{10}{100})=ln(0.1)=-0.01 t \quad \to\quad t=230.25s$

Este es el tiempo de frenado , mas el tiempo de aceleración que fue 10 s el tiempo total es $240.25\cong240s$


para calcular la distancia tienes que volver a integrar la velocidad

$\Delta x =\dst\int_{t0}^{tf} v_{t}dt$

si usas la ecuacion 1 como base

$\dst ln(v)\Vert_{v_0}^{v} =-kt\Vert_{t_0}^{t_f}$

$ln(\frac{v_0}{v})=-kt$

$v=v_0e^{-kt}$

así la integral es

$\Delta x =\dst\int\limits_{t_0}^{t_f}v_0e^{-kt} dt=\dfrac{v_0}{-k}e^{-kt}\Vert_{t_0}^{t_f}=\dfrac{v_0}{-k}(e^{-kt}-1)=\dfrac{v_0}{k}(1-e^{-kt})$

reemplaza valores y esto te da la distancia de frenado, luego si le adicionas 500 m que fue la distancia que aceleró te da la distancia total.

[Alriga]

...he visto la solución y utiliza $a=\dfrac{dv}{dt}\cdot \dfrac{dx}{dx}$

Supongo que lo has copiado mal y que lo que realmente utiliza es $a=\dfrac{dv}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}$

...si alguien podría explicarme como se desarrolla la regla de la cadena y por que usar esos diferenciales lo agradecería muchisimo...

Mira la explicación en el hilo Determinar aceleración inicial y expresión de la posición en función de t de un proyectil.

Saludos.