Esferas subiendo por un plano con y sin deslizamiento

[China]

Hola, planteo una duda sobre este problema:

Dos esferas macizas ruedan sin deslizar en un plano horizontal, hasta que empiezan a subir un plano inclinado un ángulo$\alpha$, una esfera sube por una zona sin rozamiento por lo que sube deslizando y la otra sube rodando sin deslizar. Relación entre las alturas que alcanzan ambas esferas??


A priori, si las dos llegan a la base del plano con la misma energía, por conservación de la energía deben alcanzar la misma altura, sin embargo me da por intentar resolverlo por dinámica y me queda que el que sube deslizando tiene una a=-gsen$\alpha$ y la que sube rodando tiene una $a=\frac{-2}{7}gsen\alpha$ y con estas aceleraciones de frenado diferente entiendo suben a alturas diferentes he hallado el tiempo que tardan en pararse, el espacio recorrido en ese tiempo y la altura alcanzada y me sale que sube más el que rueda que el que se desliza y la relación entre dichas alturas es $\frac{7}{2}$, esta claro que estoy haciendo algo mal, agradezco ayuda.
Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Esfera subiendo por un plano inclinado sin rozamiento $(\mu=0)$ y deslizando. En un eje paralelo al plano inclinado y considerando el sentido positivo hacia abajo,

$\sum{F}=ma$

$mg\sin\theta=ma_1$

$$a_1=g\sin\theta$$

La esfera sube hasta que la velocidad del cdm es ,

$0=v_0^2-2a_1d_1$. Sustituyendo (1) y despejando $d_1$ (la distancia que recorre sobre el plano inclinado),

$d_1=\dfrac{v_0^2}{2g\sin\theta}$

La altura que asciende es $h_1=d_1\sin\theta=\dfrac{v_0^2}{2g}$

2) Esfera subiendo por un plano inclinado con rodadura sin deslizamiento. En un eje paralelo al plano inclinado y considerando el sentido positivo hacia abajo,

$\sum{F}=ma$

$$-F_r+mg\sin\theta=ma_2$$

Aplicando la Dinámica de rotación,

$\sum{M}=I\alpha$

$F_rR=\dfrac{2}{5}mR^2\dfrac{a_2}{R}$

$F_r=\dfrac{2}{5}ma_2$. Sustituyendo en (2) y despejando $a_2$,

$$a_2=\dfrac{5}{7}g\sin\theta$$

Igual que en el primer caso, la esfera sube hasta que la velocidad del cdm es ,

$0=v_0^2-2a_2d_2$. Sustituyendo (3) y despejando $d_2$,

$d_2=\dfrac{7v_0^2}{10g\sin\theta}$

$h_2=d_2\sin\theta=\dfrac{7v_0^2}{10g}$

La relación de alturas es $\dfrac{h_2}{h_1}=\dfrac{7}{5}$

Saludos cordiales,
JCB.

[China]

una duda que me surge, a mi me da las aceleraciones negativas, son de frenado, pero para ello yo he considerado Fr y tangencial hacia abajo, veo que las consideras al revés.. claro que si pongo la de rozamiento hacia abajo no para el giro no? y en ese caso, si va al revés que la tangencial, es decir opuesta al movimiento no debería ser la otra ecuación -Fr.R=Ia/R??

[JCB]

Hola a tod@s.

Indico el planteamiento energético en este otro mensaje, para no mezclarlo con el planteamiento mediante la Dinámica. La energía mecánica antes de empezar a subir por el plano inclinado, es la misma en ambos casos, y es igual a la energía cinética de traslación, más la energía cinética de rotación.

$$\dfrac{1}{2}mv_0^2+\dfrac{1}{2}I\omega^2=\dfrac{1}{2}mv_0^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{2}{5}mR^2\dfrac{v_0^2}{R^2}=\dfrac{7}{10}mv_0^2$$

1) Esfera subiendo por un plano inclinado sin rozamiento $(\mu=0)$, deslizando. En este caso se da la particularidad de que la esfera sigue girando indefinidamente a una velocidad angular $\omega=\dfrac{v_0}{R}$, aunque su cdm llegue a detenerse (en el punto más alto). En el momento de la detención, la energía mecánica es

$\dfrac{1}{2}I\omega^2+mgh_1=\dfrac{1}{5}mv_0^2+mgh_1$

Igualando con (1) y despejando $h_1$,

$h_1=\dfrac{v_0^2}{2g}$. Coincide con la expresión hallada mediante la Dinámica.

2) Esfera subiendo por un plano inclinado con rodadura sin deslizamiento. En el momento de la detención, la energía mecánica es simplemente $mgh_2$. Igualando con (1) y despejando $h_2$,

$h_2=\dfrac{7v_0^2}{10g}$. También coincide con la expresión hallada mediante la Dinámica.

Saludos cordiales,
JCB.

[China]

Gracias, JCB, la primera resolución es como yo la tenia, me daba diferente por que el momento de inercia puse 5/2 en lugar de 2/5, vale, perfecto, ahí no tengo duda, ahora bien en el planteamiento energético es en el que me pierdo, se supone que si no hay rozamiento no puede girar la espera no??? es decir si pongo una esfera en una superficie sin rozamiento y cae solo por el paso, simplemente deslizará no?

[carmelo]

El tema es que en este caso la esfera ya viene girando y al ingresar a una zona sin rozamiento no es posible que la misma se detenga, por lo tanto su energía cinética rotacional se mantiene y es la explicación de por que asciende menos altura de aquella que si existe rozamiento. Al existir rozamiento sin deslizar no se pierde energía, pero si permite que la energía cinética de rotación inicial pueda ser transformada en energía potencial gravitatoria.

Saludos
Carmelo

[JCB]

... / ...
ahora bien en el planteamiento energético es en el que me pierdo, se supone que si no hay rozamiento no puede girar la espera no??? es decir si pongo una esfera en una superficie sin rozamiento y cae solo por el paso, simplemente deslizará no?

Hola a tod@s.

Después de unos días de ausencia, compruebo que te ha respondido carmelo, en línea con lo que había escrito en mi mensaje # 3:

... / ...
1) Esfera subiendo por un plano inclinado sin rozamiento $(\mu=0)$, deslizando. En este caso se da la particularidad de que la esfera sigue girando indefinidamente a una velocidad angular $\omega=\dfrac{v_0}{R}$, aunque su cdm llegue a detenerse (en el punto más alto).
... / ...

Si en lugar de subir por un plano inclinado sin rozamiento $(\mu=0)$, la esfera empieza a descender, efectivamente no llegará a adquirir velocidad angular, y la esfera deslizará sin girar.

una duda que me surge, a mi me da las aceleraciones negativas, son de frenado, pero para ello yo he considerado Fr y tangencial hacia abajo, veo que las consideras al revés.. claro que si pongo la de rozamiento hacia abajo no para el giro no? y en ese caso, si va al revés que la tangencial, es decir opuesta al movimiento no debería ser la otra ecuación -Fr.R=Ia/R??

Considero que la fuerza de rozamiento tiene sentido hacia arriba del plano inclinado, al contrario que la componente del peso $mg\sin\theta$ (que tiene sentido hacia abajo, y supongo que es igual a lo que te refieres como tangencial). Por otra parte, el momento de la fuerza de rozamiento $F_rR$ tiene sentido antihorario, contribuyendo a la aceleración angular $\alpha$.

Saludos cordiales,
JCB.