Calcular ángulo mínimo para que el sistema este en equilibrio.

[medina00]

Tres cilindros homogéneos lisos A, B y C están apilados en un cangilón en forma de V, tal como se indica en la figura. Cada cilindro pesa 500 N y tiene un diámetro de 125mm. Determinar el mínimo valor que puede tener el ángulo para que haya equilibrio.

He deducido el diagrama de cuerpo libre y las ecuaciones pero me queda todo en función de tetha y no se obtener el ángulo.

[JCB]

Hola a tod@s.

Al no haber rozamiento, las reacciones $N_D$ y $N_E$ de cada plano inclinado, serán perpendiculares a su plano. Luego, las rectas que unen a los centros de los cilindros formarán un triángulo equilátero con un ángulo $2\theta$.

$(2\theta)\cdot 3=180^{\circ}$

$\theta=30^{\circ}$

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Una forma rigurosa, sería la siguiente.

1) Equilibrio del cilindro A.

$\sum{F_x}=0$

$F_{BA}\cos60^{\circ}-F_{CA}\cos60^{\circ}=0$

$$F_{BA}=F_{CA}$$

$\sum{F_y}=0$

$F_{BA}\sin60^{\circ}-mg+F_{CA}\sin60^{\circ}=0$. Sustituyendo (1) y despejando,

$$F_{BA}=\dfrac{mg}{2\sin60^{\circ}}$$

2) Equilibrio del cilindro B (también se podría hacer con el cilindro C).

$\sum{F_x}=0$. Aquí debe considerarse que “desaparece” la reacción de C contra B.

$N_D\sin\theta-F_{AB}\cos60^{\circ}=0$. Teniendo en cuenta que $F_{AB}=F_{BA}$ en módulo, y sustituyendo (2),

$$N_D\sin\theta-\dfrac{mg}{2\tan 60^{\circ}}=0$$

$\sum{F_y}=0$

$N_D\cos\theta-mg-F_{AB}\sin60^{\circ}=0$. Sustituyendo (2) y despejando,

$N_D=\dfrac{3mg}{2\cos\theta}$. Sustituyendo en (3) y despejando,

$\tan\theta=\dfrac{1}{3\tan60^{\circ}}$

$\theta=\arctan\left(\dfrac{1}{3\tan60^{\circ}}\right)=10,89^{\circ}$

Nota: me he liado una barbaridad con los ángulos. Primero, $\theta$ me dio el mismo resultado de $30^{\circ}$ que en el mensaje # 2.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola, a todos, JCB yo veo bien este último planteo,

Si se nos permite separar los cilindros inferiores, es decir exagerar que ya no hay contacto en el limite entre B y C ,(cambiar del triangulo equilátero a un isósceles) entonces el ángulo $\theta$ puede tender a 90, sería $\tan\theta=\dfrac{1}{3\tan(90-\theta)}$ la ecuación a resolver cuando las normales de contacto son colineales o bien paralelas , con casos extremos 0 (plano horizontal)y 90 encajonar los tres cilindros entre dos paredes planas verticales paralelas separadas por la distancia limite de hasta 3 diamétros.

[JCB]

Hola a tod@s.

Para ayudar a visualizar mi interpretación de la situación, añado un croquis. Lo interpreto de la siguiente manera: se parte de un determinado ángulo $\theta$ (evidentemente superior a $10,89^{\circ}$). Los tres cilindros están apilados y sus centros forman un triángulo equilátero. El ángulo $\theta$ va disminuyendo progresivamente, pero repito, los centros de los tres cilindros siguen formando un triángulo equilátero. Llega un instante en el cual cesa la reacción de C contra B, y en ese instante y con ese ángulo $\theta=10,89^{\circ}$, los cilindros C y B dejan de tener contacto, rompiéndose el estado de equilibrio.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

rompiéndose el estado de equilibrio.

Yo no eligiría la palabra romper ,para mí si se separan los cilindros ocurre un equilibrio inestable, la más mínima desviación el sistema colapsa a falta de rozamiento para impedirlo.
es decir se logra equilibrio matemático, pero difícil de llevarlo a la práctica, ya que requiere condiciones ideales, de rozamiento, elasticidad y forma de los cilindros.

Saludos

[JCB]

No sé si te has fijado en el título del hilo y en el enunciado, Richard, pero cuando se refiere a equilibrio, el contexto es el equilibrio estático (es decir, equilibrio en estado de reposo), por tratarse de un ejercicio de Estática. En consecuencia, cuando los cilindros se empiezan a mover, el estado de equilibrio (estático, se entiende), se rompe.

[Richard R Richard]

Yo me refiero a una posición inicial estática, donde el triángulo que forman los centros de los cilindros es isósceles. Al dejar evolucionar, de no mediar desequilibrio por causa externa, el sistema idealmente conservaría su posición estática. Fijate que incluso con 10.89 o mayor una leve inclinación y el sistema colapsa, por falta de rozamiento que impida la inclinacion, es mas estable que el cilindro central este por debajo y dos laterales haciendo contacto, pero no hace gracia ponerse a resolver.

Como han pedido el mínimo ángulo, no el máximo que seria incluso superior a que calculaste inicialmente.

El enunciado no indica que tipo de triángulo, solo dibuja uno aparentemente equilátero, el mínimo ángulo seria el que rebasado su límite, el cilindro interior desplace de lado a los inferiores y caiga por el medio.Cada combinación de ángulo inicial tiene un ángulo limite inferior, A medida que ese ángulo se hace mas pequeño, mayor debe ser el ángulo limite. Como no hay forma de tener simetría con ángulos mayores a 60° ese el minino ángulo de la configuración en triangulo.
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