Problema dinámica - Calcular velocidad final cuerpos.

[medina00]

Sobre el cuerpo de masa m = 2 kg se aplica una fuerza variable con el tiempo, F = 10 t +10 , que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Debido a ello m desliza sobre M ( M= 4 kg) siendo el coeficiente de rozamiento dinámico $\mu$ = 0.15. El suelo es liso. Inicialmente M está en reposo y m tiene una velocidad hacia la derecha v0 = 2m/s. Al cabo de 2s cesa el contacto entre los cuerpos ( m se cae ).
a)Diagrama de cuerpo libre de cada uno de los dos cuerpos
b) Velocidad de cada cuerpo a t = 2s [Rpta.: 14,8 m/s]
c) Longitud del cuerpo de 4 kg.



He sacado este diagrama de cuerpo libre de cada caja. Pero el apartado b debería plantearlo con los cuerpos ambos tocando el suelo y sin contacto entre ellos? No se muy bien como plantearlo.

[medina00]

Sobre el cuerpo de masa m = 2 kg se aplica una fuerza variable con el tiempo, F = 10 t +10 , que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Debido a ello m desliza sobre M ( M= 4 kg) siendo el coeficiente de rozamiento dinámico $\mu$ = 0.15. El suelo es liso. Inicialmente M está en reposo y m tiene una velocidad hacia la derecha v0 = 2m/s. Al cabo de 2s cesa el contacto entre los cuerpos ( m se cae ). a)Diagrama de cuerpo libre de cada uno de los dos cuerpos b) Velocidad de cada cuerpo a t = 2s .Rpta.: 14,8 m/s c) Longitud del cuerpo de 4 kg.

He deducido los siguientes diagramas de cuerpo libre.



He sacado las siguientes ecuaciones:

$\dst\sum F_{xM}=M*a_M=FR$
$\dst\sum F_{yM}=0=NM-PM-Nm$

$\dst\sum F_{xm}=m*a_m=FX-FR$
$\dst\sum F_{ym}=0=NM-PM-FY$

Entonces he calculado:
F=10t+10=10*+10=10N
Pm=m*g=2*9,8=19,6N
FX=F*cos(30)
FY=F*sen(30)
Nm=Pm+Fy=19,6+10*sen(30)=24,6N

Luego he despejado la aceleración de m calculando su FR=0,15*24,6=3,69N

$a_m=\frac{0,15*24,6}{4}=0,92\frac{m}{s^2}$

y he usado esta aceleración para calcular la velocidad final de m usando: $vf_a=v0_a+a_m*t=2+0,92*2=6,97\frac{m}{s}[$

y me deberia dar $14,8\frac{m}{s}$ y no encuentro mi fallo.

[JCB]

Hola a tod@s.

Como la fuerza aplicada $F$ es variable, debes tener en cuenta que las aceleraciones también serán variables. Para la masa $M$ (situada debajo de $m$),

$\sum{F_x}=Ma_M$

$\mu(mg+F(t)\sin\theta)=M\dfrac{dv_M}{dt}$

$\mu mg+\mu(10t+10)\sin\theta=M\dfrac{dv_M}{dt}$

Integrando, obtienes la velocidad de $M$. Los límites de integración son $t_0=0$, $t=2$, y $v_{0M}=0$ ($M$ parte del reposo), $v_M$.

Con la masa $m$ (situada encima de $M$), sería similar, con los límites de integración $t_0=0$, $t=2$, y $v_{0m}=2$ ($m$ no parte del reposo), $v_m$.

$\sum{F_x}=ma_m$

$F(t)\cos\theta-\mu(mg+F(t)\sin\theta)=m\dfrac{dv_m}{dt}$

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Con la finalidad de poder contrastar resultados, indico las expresiones de $v_M$ y de $v_m$, una vez realizada la integración (sencilla, aunque engorrosa).

$v_M=\dfrac{5\mu\sin\theta}{M}t^2+\dfrac{mg+10\sin\theta}{M}\mu t$

Cuando $t=2\ s$, $v_M=2,22\ m/s$.

$v_m=v_{0m}+\dfrac{\cos\theta-\mu\sin\theta}{m}5t^2+\dfrac{10\cos\theta-10\mu\sin\theta-\mu mg}{m}t$

Cuando $t=2\ s$, $v_m=14,88\ m/s$.

Quedaría resolver el último apartado, que es determinar la longitud (se entiende la mínima) del bloque inferior de masa $M$. En otras palabras, determinar la distancia que recorre la masa $m$ desde $t_0=0$, hasta $t=2$. Para ello, puedes partir de lo siguiente:

$v_m=\dfrac{dx}{dt}$

$dx=v_mdt$

e integrar utilizando los límites de integración de $x_0=0$ a $x$, y de $t_0=0$ a $t=2$.

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar7]

Hola

Están correctos los diagramas de cuerpo libre, respecto al apartado b , para hallar la velocidad has de aplicar la segunda ley de Newton, para cada cuerpo y los diagramas son válidos entre t=0 y t<2 s, es algo súbito en t=2 segundos las cosas cambian (desaparece contacto); pero en el intervalo de tiempo $[0,2)$ hay contacto y diagramas de fuerza son los que has mostrado. Luego de plantear la segunda ley para ambos cuerpos se determinan las aceleraciones en función del tiempo y de ahí por integración las velocidades en función del tiempo, la velocidad mostrada en el apartado, corresponde a del cuerpo de masa m=2 kg en t=2 s, luego por integración se puede obtener las distancias recorridas por cada cuerpo, la diferencia de disntancias hasta t=2 s, constituye la longitud del cuerpo M.


Saludos

[medina00]

Apartado B:
Saco las siguientes ecuaciones:
Cuerpo m:
$\sum{fx}=F_x-FR=m_ma_m$
$\sum{fy}=N_m-P_m-Fy=0$

$N_m=2*9,8+(10t+10)\sin30 \rightarrow N_m=19,6+(10t+10)\sin30$

Entonces,
$(10t+10)\cos30-0,15(19,6+(10t+10)\sin30)=2a_m \rightarrow 10t\cos30+10\cos30-2,94-1,5t\sin30-1,5\sin30=2a_m$
$\rightarrow t(10\cos30-1,5\sin30)+10\cos30-1,5\sin30-2,94=2a \rightarrow \frac{7.91t+10\cos30-1,5\sin30-2,94}{2}=a_m \rightarrow a_m=3,95t+2,48$

Cuerpo M:
$\sum{fx}=FR=m_Ma_M$
$\sum{fy}=N_m-P_M-N_M=0$

Entonces,
$0.15(19,6+(10t+10)\sin30)=4a_M \rightarrow 2,94+1,5t\sin30+1,5\sin30=4a_M \rightarrow a_M=\frac{0,75t+3,69}{4} \rightarrow a_M=0,18t+0,92$

Ahora integrando ambas aceleraciones obtengo las velocidades.

$v_m=\frac{3,95t^2}{2}+2,48t=12,86m/s$
$v_M=\frac{0,18t^2}{2}+0,92t=2,2m/s$

Sería correcto así??

[JCB]

Hola a tod@s.

Cuando planteaste el mismo ejercicio, pero en otro hilo, lo hice así:

https://forum.lawebdefisica.com/foru...de-cada-cuerpo

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar7]

Apartado B:
Saco las siguientes ecuaciones:
Cuerpo m:
$\sum{fx}=F_x-FR=m_ma_m$
$\sum{fy}=N_m-P_m-Fy=0$

$N_m=2*9,8+(10t+10)\sin30 \rightarrow N_m=19,6+(10t+10)\sin30$

Entonces,
$(10t+10)\cos30-0,15(19,6+(10t+10)\sin30)=2a_m \rightarrow 10t\cos30+10\cos30-2,94-1,5t\sin30-1,5\sin30=2a_m$
$\rightarrow t(10\cos30-1,5\sin30)+10\cos30-1,5\sin30-2,94=2a \rightarrow \frac{7.91t+10\cos30-1,5\sin30-2,94}{2}=a_m \rightarrow a_m=3,95t+2,48$

Cuerpo M:
$\sum{fx}=FR=m_Ma_M$
$\sum{fy}=N_m-P_M-N_M=0$

Entonces,
$0.15(19,6+(10t+10)\sin30)=4a_M \rightarrow 2,94+1,5t\sin30+1,5\sin30=4a_M \rightarrow a_M=\frac{0,75t+3,69}{4} \rightarrow a_M=0,18t+0,92$

Ahora integrando ambas aceleraciones obtengo las velocidades.

$v_m=\frac{3,95t^2}{2}+2,48t=12,86m/s$
$v_M=\frac{0,18t^2}{2}+0,92t=2,2m/s$

Sería correcto así??

Son correctas las aceleraciones e incluso las integraciones para obtener las velocidades; pero en la obtención de la velocidad del bloque m se tiene $a_m(t)=v_m'(t)=3.95t+2.48 \Rightarrow \int_0^Tv_m'(t) \ dt=\int_0^T(3.95t+2.48) \ dt$

Al resolver los integrales se tiene :

$v_m(T)-v_m(0)=\frac{3.95T^2}{2}+2.48T \Rightarrow v_m(t)=v_m(0)+\frac{3.95T^2}{2}+2.48T=2+\frac{3.95T^2}{2}+2.48T$ por la razón que el bloque pequeño tenía una velocidad de 2 m/s en T=0

¿La ecuación de la velocidad $v_M(t)$ es correcta? ¿Por qué?

Saludos

[medina00]

¿La ecuación de la velocidad $v_M(t)$ es correcta? ¿Por qué?

Saludos

SI, porque M parte del reposo ¿no?.

[delmar7]

SI, porque M parte del reposo ¿no?.

Exacto.

Saludos