Calcular aceleraciones de los cuerpos

[medina00]

Si los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque y el plano inclinado son 0,4 y 0,3 respectivamente y m1= m2=5 kg, ¿Se mueven los bloques? .En caso afirmativo, ¿cuál sería el valor de la aceleración de cada masa? (Rpta: a1=0,84m/s2 )

He planteado las siguientes relaciones:

$2T_2=T_1$
$a_2=2a_1$
$m_2=0.57m_1$

como $m_1=5kg$ necesitaría $m_2=5*0.57=2.85kg$ para mantener el equilibrio del sistema pero como m2=5kg el sistema se moverá en sentido descendente del plano para m2 y m1 subirá verticalmente.

$\sum{fx}=p\sin60-t_2-fr=m_2a_2$
$\sum{fy}=n_2=p\cos60=24.5N$

sustituyo:
$5*9.8\sin60-\frac{m_1g}{2}-0.3*24.5=5a_2 \rightarrow a_2=2.11m/s^2$
entonces $a_1=1.05m/s^2$
No me da como la solución por eso tengo dudas de si esta correcto.

Mi otra duda es di primero trato de obtener la aceleración 1:

me queda $t_1-p_1=m_1a_1 \rightarrow 5a_1=0$ me queda esto que no tiene sentido como podría hacerlo?

[Richard R Richard]

Hola, unos tips para este tipo de problemas,
primero resuelve el problema como si ya se estuviera moviendo, pero con la fuerza de rozamiento nula, eso te dirá para que lado acelerará el sistema , te dará positivo , si acelera en favor a tu sistema de referencia, (si apunta positivo descendiendo por el plano, y el cálculo resulta positivo, entonces el objeto descenderá por el plano, caso contrario ascenderá)
De ese modo puedes como segundo paso suponer un sentido la fuerza de rozamiento, que debes suponerla siempre opuesta al sentido de movimiento que obtuviste antes.(la flecha en contra de la dirección de movimiento)
El tercer paso es calcular la aceleración del sistema si la fuerza de rozamiento es la dinámica, en caso de resultar una aceleración positiva , el sistema seguirá moviéndose y acelerando una vez que se haya podido mover en el primer instante.(si resulta negativa, el sistema se detiene, si ya tuviese velocidad inicial, en vez de aumentar su velocidad).
Por último si reemplazas ahora el coeficiente de rozamiento por el valor del rozamiento estático, y la aceleración resultase negativa , significa que no se moverá. Dicho de otro modo si esta aceleración resulta positiva con el coeficiente estático entonces se moverá, y como el coeficiente dinámico es menor que el estático, el movimiento luego del instante inicial continuará con la aceleración calculada con el coeficiente dinámico, y en el raro caso que esta aceleración con el coeficiente dinámico de rozamiento resultase nula, el equilibrio es inestable, no se mueve, pero si se lo dota de una velocidad inicial la mantendrá constante.

Saludos

[delmar7]

Hola

Para complementar el aporte de Richard R Richard (obvio lo primero que hay que demostrar es que el sistema se mueve) en los diagramas de cuerpo libre (fuerzas) en el correspondiente al cuerpo 2, falta la reacción normal del plano inclinado sobre el bloque 2 creo es una omisión, pero en tus ecuaciones para calcular las aceleraciones (considerando que el sistema no esta en equilibrio) has considerado :

$p \ sin (60)-t_2-fr=m_2a_2$ Ec. 1 esa ecuación es correcta considerando las aceleraciones positivas coincidentes con el descenso

Pero en la siguiente ecuación en donde pones valores $5(9.8) sin(60)-\frac{m_1g}{2}-0.3(24.5)=5a_2$ hay un error estas considerando que $t_2=\frac{m_1g}{2}$ y eso no es cierto, por que si lo fuera $a_1=0$ y el sistema no se mueve. Hay que aplicar la 2da. Ley de Newton al bloque 1, asumiendo una aceleración genérica, en la dirección vertical:

Considerando positivo hacia abajo se tiene :

$-2t_2+m_1g=-m_1a_1$ Ec 2 donde $a_1$ es el valor absoluto de la aceleración, se deduce que la aceleración es negativa, por que la aceleración del bloque 2 es positiva.(desciende), bloque 1 asciende. Y si la relación entre los módulos de las aceleraciones están bien $a_2=2 \ a_1$. La Ec 1 corregida y la Ec 2 te permiten resolver el problema y la respuesta es correcta.


Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Comprobación de si el sistema está en equilibrio estático. Si el sistema no se mueve, para $m_1$,

$\sum{F_y}=0$

$2T-m_1g=0$

$T=\dfrac{m_1g}{2}$

Para $m_2$, en un eje con dirección paralela al plano inclinado,

$\sum{F_{\parallel}}=0$

$-T-F_r+m_2g\sin\theta=0$

$F_r=m_2g\sin\theta-T=m_2g\sin\theta-\dfrac{m_1g}{2}=17,94\ N$

Por otra parte, se debe cumplir que $F_r\leq \mu_em_2g\cos\theta=9,80\ N$. Como la fuerza de rozamiento necesaria para mantener el sistema en reposo, supera sobradamente a la máxima fuerza de rozamiento estático, resulta que sí hay movimiento, y este es en sentido descendente del plano inclinado.

2) Instalados en el régimen dinámico.

Para $m_1$,

$\sum{F_y}=m_1a_1$

$2T-m_1g=m_1a_1$

$$T=\dfrac{m_1(a_1+g)}{2}$$

Para $m_2$,

$\sum{F_{\parallel}}=m_2a_2$

$$-\mu_dm_2g\cos\theta-T+m_2g\sin\theta=m_2a_2$$

Considerando que $m_1=m_2$, $a_2=2a_1$ y sustituyendo (1) en (2),

$a_1=\dfrac{2}{5}g\left(\sin\theta-\mu_d\cos\theta-\dfrac{1}{2}\right)=0,85\ m/s^2$

Saludos cordiales,
JCB.