Calcular alargamiento resorte

[medina00]

Enganchamos una partícula de 1 kg a un resorte espiral de masa despreciable cuya longitud natural es de 48 cm y de constante elástica k = 9.8 N/cm. Lo hacemos girar como un péndulo cónico con una velocidad angular constante de 60 rpm. Calcular: a) El alargamiento del resorte. Rpta:2cm



Sería usando la fórmula: $x=\frac{F}{k}=\frac{P}{k}=\frac{9,8}{9,8}=1cm$ ?? pero la respuesta da 2 cm y no se por que.

[JCB]

Hola a tod@s.

Para determinar el alargamiento del muelle, debes hallar primero la tensión de tracción a la que está sometido el muelle. Plantea la segunda ley en el eje $Y$, y en el eje $X$, considera también que $l=l_0+\Delta l=l_0+\dfrac{T}{k}$, y llegarás a que

$T=\dfrac{m\omega^2l_0}{1-\dfrac{m\omega^2}{k}}=\dfrac{l_0}{\dfrac{1}{m\omega^2}-\dfrac{1}{k}}$

Una vez conocida la tensión, el alargamiento es inmediato, $\Delta l=\dfrac{T}{k}=2,01\ cm$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Yo lo obtengo distinto, ni entiendo como llegaste al tuyo.

en horizontal la segunda ley de newton me dice que la aceleración centrípeta es igual a la componente de la tensión en horizontal, y que en vertical, la componente de la tensión en esta direccion se equilibra con el peso.

$T\sin\varphi=m\omega^2r$

$T\cos\varphi=mg$

$\cos\varphi=\dfrac{mg}{T}\quad\to\quad \sin\varphi=\sqrt{1-\dfrac{m^2g^2}{T^2}}$

reemplazando en la primera

$\sqrt{T^2-m^2g^2}=m\omega^2r$

despejo $T=\sqrt{m^2g^2+m^2\omega^4r^2}=mg\sqrt{1+\dfrac{\omega^4r^2}{g^2}}=$

luego $\Delta x =\dfrac{T}{k}$

pero no veo como te independizas del radio sin el ángulo $\varphi$ como dato.

[JCB]

Hola a tod@s.

Pues será, apreciado Richard R Richard, porque no te habrás fijado en la pista añadida

$\sum{F_y}=0$

$T\cos\varphi-mg=0$

$$T=\dfrac{mg}{\cos\varphi}$$

$\sum{F_x}=ma_x$

$T\sin\varphi=m\omega^2r$. Sustituyendo (1) y sabiendo que $r=l\sin\varphi$,

$\cos\varphi=\dfrac{g}{\omega^2l}$. Sustituyendo en (1),

$$T=m\omega^2l$$

La pista es $l=l_0+\Delta l=l_0+\dfrac{T}{k}$. Sustituyendo en (2),

$T=\dfrac{m\omega^2l_0}{1-\dfrac{m\omega^2}{k}}=\dfrac{l_0}{\dfrac{1}{m\omega^2}-\dfrac{1}{k}}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Ah ya veo

$r=(l_o+\dfrac{T}{k})\sin\varphi$ reemplazando en

$T\sin\varphi=m\omega^2r$

$T\sin\varphi=m\omega^2(l_o+\dfrac{T}{k})\sin\varphi$

$T=m\omega^2(l_o+\dfrac{T}{k})$

$T\left(\dfrac{1}{m\omega^2}-\dfrac{1}{k}\right)=l_o$

$T=\dfrac{l_o}{\dfrac{1}{m\omega^2}-\dfrac{1}{k}}$

teniendo $T$ sale $\Delta l$, $r$ y $\varphi$

Edito, Gracias por tu respuesta , no la había visto hasta postear


Saludos

[medina00]

Hola a tod@s.

Para determinar el alargamiento del muelle, debes hallar primero la tensión de tracción a la que está sometido el muelle. Plantea la segunda ley en el eje $Y$, y en el eje $X$, considera también que $l=l_0+\Delta l=l_0+\dfrac{T}{k}$, y llegarás a que

$T=\dfrac{m\omega^2l_0}{1-\dfrac{m\omega^2}{k}}=\dfrac{l_0}{\dfrac{1}{m\omega^2}-\dfrac{1}{k}}$

Una vez conocida la tensión, el alargamiento es inmediato, $\Delta l=\dfrac{T}{k}=2,01\ cm$.

Saludos cordiales,
JCB.

¿Y cuanto da T? porque yo he llegado a que $T=\frac{l_0mw^2k}{k-mw^2}=\frac{48*1*(6.28)^2*9,8}{9.8-(6,28)^2}$ pero no me da el resultado.

[JCB]

¿Y cuanto da T? porque yo he llegado a que $T=\frac{l_0mw^2k}{k-mw^2}=\frac{48*1*(6.28)^2*9,8}{9.8-(6,28)^2}$ pero no me da el resultado.

Hola a tod@s.

$T=\dfrac{l_0}{\dfrac{1}{m\omega^2}-\dfrac{1}{k}}=\dfrac{0,48\ m}{\dfrac{1}{1\ kg\cdot(2\pi\ rad/s)^2}-\dfrac{1}{980\ N/m}}=19,75\ N$

$\Delta l=\dfrac{T}{k}=\dfrac{19,75\ N}{980\ N/m}=0,0201\ m=2,01\ cm$

Saludos cordiales,
JCB.