Colisión en un plano inclinado con resorte

[Luis Carlos Ravelo Vega]

Necesito expliacación de este problema
Inicialmente, un bloque de masa m=1kg otro de masa M, están en reposo en un plano inclinado sin fricción y con inclinacion de 30°. El bloque de masa M descansa sobre un resorte cuya constante es 11000 N/m. La distancia sobre el plano de los bloques es de 4 metros. Se suelta el bloque de masa m y experimenta una colisión elástica con el bloque M, rebota y alcanza una distancia sobre el plano de 2.56 m. ¿Que distancia se comprime el resorte?

[Richard R Richard]

Necesito expliacación de este problema
Inicialmente, un bloque de masa m=1kg otro de masa M, están en reposo en un plano inclinado sin fricción y con inclinacion de 30°. El bloque de masa M descansa sobre un resorte cuya constante es 11000 N/m. La distancia sobre el plano de los bloques es de 4 metros. Se suelta el bloque de masa m y experimenta una colisión elástica con el bloque M, rebota y alcanza una distancia sobre el plano de 2.56 m. ¿Que distancia se comprime el resorte?

Hola hay un dato que tienes que calcular y es el coeficiente de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado, puesto que en condiciones ideales si no hubiese rozamiento el bloque de masa m volvería a alcanzar los 4 metros de distancia.
Como veo tampoco te dan la masa del Bloque M puedes suponerla mucho mas grande que la de m, que la distancia que se mueve el bloque M es despreciable frente a la longitud del plano, resultando despreciable la energía perdida por rozamiento de este bloque e innecesario el dato de su masa y ahora sí se puede calcular la energía cinetica perdida entre el descenso y el ascenso como el trabajo de la fuerza de rozamiento, y de allí calcular el coeficiente.

Una vez lo tienes puedes calcular la energía cinetica con la que llega a impactar luego del descenso, pero sin importar la masa del bloque M nuevamente se puede calcular por igualación de energías, la compresión total del resorte, despreciando la variación de potencial gravitatorio en el pequeño descenso mientras se comprime el resorte.

Haz el intento y nos dices como te fue.

Editado, se lo puede ver de otro modo como lo hacen mas adelante.

[delmar7]

Bienvenido al foro

En este problema hay que distinguir varios sucesos y hacer algunas hipótesis.


Suceso A

Descenso de la masa pequeña hasta tomar contacto con la grande, se puede calcular su velocidad de llegada $v_{mi}$, teniendo en cuenta que las únicas fuerzas que actúan sobre m , son la normal del plano y el peso, en ese caso el teorema de la energía dice :

$\Delta E_c=W_N+W_g$ en este caso variación de la energía cinética es igual al trabajo de la fuerza normal ($W_N=0$) más el trabajo de la fuerza gravitatoria, la cual es igual a menos la variación de la energía potencial gravitatoria $W_g=-mg(h_f-h_i)$ donde los h, representa las alturas final e inicial respectivamente.

$\frac{mv_{mi}^2}{2}-0=0-mg(-4 sen 30) \Rightarrow v_{mi}=6.261$

Suceso B

El choque entre m y M en este punto hay que hacer ciertas hipótesis, durante el choque las posiciones de ambas masas permanece prácticamente constante., se puede calcular la velocidad de m después del choque aplicando el teorema de energía :

$0-\frac{mv_{mf}^2}{2}=-mg(2.56 sen 30) \Rightarrow v_{mf}=5.009$

Se puede calcular la velocidad al final del choque de la masa M, considerando que la energía y cantidad de movimiento se conservan, en este punto hay una hipótesis adicional en realidad en la dirección del plano durante el choque la suma de fuerzas externas no es cero no se conserva la cantidad de movimiento, por que si bien la componente del peso de M se compensa con la fuerza de resorte, la componente del peso de la masa m queda desbalanceada, solo es aceptable si es pequeña y eso se supone.

Cantidad de movimiento conservación

$-mv_{mi}=mv_{mf}-MV \Rightarrow MV=11.27$

Conservación de la energía


$\frac{mv_{mi}^2}{2}=\frac{mv_{mf}^2}{2}+\frac{MV^2}{2}\Rightarrow MV^2=14.112 \Rightarrow V=1.252$ y de paso se puede calcular la masa de M, $M=11.27/1.252=9$ kg


Suceso C

Descenso de la masa M, antes de calcularlo hay que ver que el resorte ya esta deformado (comprimido) y se puede calcular esta deformación al considerar que el cuerpo estaba en equilibrio $Mg cos 60=11000 d_1$ esto implica que la deformación inicial es $d_1=\frac{Mg cos 60}{11000}=0.004$ m

Al descender M, esta sometido a la reacción normal N', a su peso Mg y a la fuerza elástica, aplicando el teorema de la energía, considerando que al detenerse su velocidad es cero se tiene :

$0-\frac{MV^2}{2}=Mg(d_2-d_1)sen 30-(\frac{11000 d_2^2}{2}-\frac{11000d_1^2}{2})$ esto es una ecuación de segundo grado :

$5500d_2^2-44.1d_2-3.438484=0 \Rightarrow d_2=0.0292$ la deformación adicional del resorte es $d_2-d_1=0.025$ m




Saludos

Veo que Richard R Richard ha respondido, de todas maneras muestro un análisis

[Richard R Richard]

Bienvenidos sean todos los análisis, lo que si no veo en este en particular , lo que haces para justificar que la altura final sea inferior a la inicial, si la energía mecánica se conserva. ,,, edito Vale , me he dispuesto a resolverlo numéricamente y ahora veo que no necesariamente vuelve a la misma posición ya que la masa que cae es mas pequeña que la solidaria al resorte por lo que rebotara y no acompañará a la masa grande en su descenso.

[Richard R Richard]

Habiendo visto otro tipo de enfoque,

si los choques son elasticos y no hay rozamiento

la energía cinetica del bloque que desliza es igual a la variación de su energía potencial

$\dfrac12 mv_i^2=mg\Delta h_i= mg\Delta l_i \sin30\quad \to \quad v_i=\sqrt{gl_i}$

analizando el caso inverso en el ascenso

$\dfrac12 mv_f^2=mg\Delta h_f= mg\Delta l_f\sin30\quad \to \quad v_f=\sqrt{gl_f}$


si en el choque se conserva la energía cinetica

$\dfrac12 mv_i^2=\dfrac12 mv_f^2+\dfrac12 MV^2\quad \to \quad V=\sqrt{\dfrac{mg}{M}(l_i-l_f)}$

Esa sería la energía del bloque antes de empezar a comprimirse y podriamos tambien igualarla a la energía que tendrá el resorte cuando este comprimido, suponiendo que la variación del potencial gravitatorio es depreciable cuando $\Delta x<<l_i-l_f$ veamos si se cumple

$\dfrac 12 k\Delta^2 x=\dfrac12 MV^2 \quad \to \quad \Delta x=\sqrt{\dfrac{M}{k}V^2}=\sqrt{\dfrac{M}{k}\dfrac{mg}{M}(l_i-l_f)}=\sqrt{\dfrac{mg}{k}(l_i-l_f)}=0.035m\cong 3.5cm<< 1.44m=l_i-l_f\quad \checkmark$ $\checkmark$