Valor mínimo de la velocidad para que la masa pueda girar el círculo completo sin perder contacto con la vía

[medina00]

La partícula de masa m se mueve en un círculo de radio R en el interior de una vía sin fricción. Cuando m se
encuentra en la posición más baja su velocidad es$v_0$. ¿Cuál es el valor mínimo de esta velocidad para el cual la masa
puede girar el círculo completo sin perder contacto con la vía? Rpta.:$v_0^2 = 5Rg$



Al ser todas las fuerzas conservativas, la trayectoria cerrada y debe dar una vuelta completa es decir punto inicial es igual a punto final el trabajo total es 0 no?
Lo único que se me ha ocurrido es sacar el sumatorio de fuerzas en el punto mas bajo
$\sum{fy}=N-9.8m=\frac{v^2}{R}$ Lo que mantiene la partícula pegada a la vía es la aceleración normal no? Pero no se como resolverlo.

[delmar7]

Hola

Antes de analizar, una acotación el problema es simétrico es decir, los resultados serán los mismos si consideras que la velocidad $V_0$ es hacia la derecha y eso hay que considerar. Considerando también una referencia inercial XY, cuyo origen coincide con el centro del círculo y cuyo eje X, es paralelo al piso hacia la derecha positivo y con eje Y vertical , positivo hacia arriba. En efecto las únicas fuerzas que actúan sobre la partícula son la reacción normal N de la pista circular y la fuerza gravitatoria, el peso P=mg, en consecuencia aplicando el teorema de la energía, se puede hallar la velocidad de la partícula en cualquier punto de su trayectoria circular :

$\frac{mv^2}{2}-\frac{mV_0^2}{2}=-mgh$ el último término es el trabajo de la fuerza gravitatoria que es igual a menos la variación de la energía potencial gravitatoria, h, es la altura de la partícula respecto a una referencia, en este caso el punto más bajo de la partícula, que coincide con su posición en t=0
, para girar el círculo completo ha de pasar por el punto más alto entonces necesariamente se ha de cumplir en ese punto :

$\frac{mv_1^2}{2}-\frac{mV_0^2}{2}=-mg2R\Rightarrow v_1^2=V_0^2-4gR$ Ec 1, donde $v_1$ es el módulo de la velocidad en el punto más alto, su altura será 2R, esta ecuación pone una condición $V_0>4gR$, analizando la dinámica en el punto más alto :

$N_1+mg=ma_n$ donde el primer término es la reacción normal en el punto más alto, esta cantidad siempre ha de ser mayor o igual que cero y $a_n$ es la aceleración normal, $a_n=R\theta'^2=\frac{v_1^2}{R}$ entonces se tiene : $N_1+mg=m \frac{v_1^2}{R}$ Ec 2, sustituyendo la Ec 1 en 2 se llega a :

$N_1+mg=(\frac{m}{R}) \ (V_0^2-4gR)$

Una relación entre $N_1 \ \ y \ \ V_0$ ¿Cuándo $V_0$ será mínima? Despeja $V_0^2$ y ten en cuenta que $N_1$ es mayor o igual que cero. Creo que puedes hallar el valor de $N_1$ que hace mínima a $V_0^2$ y calcular el valor de la velocidad al cuadrado.

Saludos

[medina00]

Hola

Antes de analizar, una acotación el problema es simétrico es decir, los resultados serán los mismos si consideras que la velocidad $V_0$ es hacia la derecha y eso hay que considerar. Considerando también una referencia inercial XY, cuyo origen coincide con el centro del círculo y cuyo eje X, es paralelo al piso hacia la derecha positivo y con eje Y vertical , positivo hacia arriba. En efecto las únicas fuerzas que actúan sobre la partícula son la reacción normal N de la pista circular y la fuerza gravitatoria, el peso P=mg, en consecuencia aplicando el teorema de la energía, se puede hallar la velocidad de la partícula en cualquier punto de su trayectoria circular :

$\frac{mv^2}{2}-\frac{mV_0^2}{2}=-mgh$ el último término es el trabajo de la fuerza gravitatoria que es igual a menos la variación de la energía potencial gravitatoria, h, es la altura de la partícula respecto a una referencia, en este caso el punto más bajo de la partícula, que coincide con su posición en t=0
, para girar el círculo completo ha de pasar por el punto más alto entonces necesariamente se ha de cumplir en ese punto :

$\frac{mv_1^2}{2}-\frac{mV_0^2}{2}=-mg2R\Rightarrow v_1^2=V_0^2-4gR$ Ec 1, donde $v_1$ es el módulo de la velocidad en el punto más alto, su altura será 2R, esta ecuación pone una condición $V_0>4gR$, analizando la dinámica en el punto más alto :

$N_1+mg=ma_n$ donde el primer término es la reacción normal en el punto más alto, esta cantidad siempre ha de ser mayor o igual que cero y $a_n$ es la aceleración normal, $a_n=R\theta'^2=\frac{v_1^2}{R}$ entonces se tiene : $N_1+mg=m \frac{v_1^2}{R}$ Ec 2, sustituyendo la Ec 1 en 2 se llega a :

$N_1+mg=(\frac{m}{R}) \ (V_0^2-4gR)$

Una relación entre $N_1 \ \ y \ \ V_0$ ¿Cuándo $V_0$ será mínima? Despeja $V_0^2$ y ten en cuenta que $N_1$ es mayor o igual que cero. Creo que puedes hallar el valor de $N_1$ que hace mínima a $V_0^2$ y calcular el valor de la velocidad al cuadrado.

Saludos

No entiendo muy bien una cosa, si solo actúan la fuerza gravitatoria y la normal, la fuerza gravitatoria es conservativa, esto quiere decir que la normal no lo es?? porque si ambas son conservativas el trabajo al ser una trayectoria cerrada sería 0 no??

Entonces si la fuerza normal no es conservativa el trabajo del sistema sería = Wfuerzas conservativas + W fuerzas no conservativas

Entonces para sacar el trabajo de fuerzas conservativas sería el de la fuerza gravitatoria únicamente es decir: mgh, pero porque tomas el punto más alto si los puntos que nos interesarían son el inicial y el final que en este caso es el mismo siendo h=0??

Y en el caso de las fuerzas no conservativas su trabajo sería = la energía mecánica en el punto inicial - la energía mecánica en le punto final y en este caso punto final e inicial son el mismo no??

[delmar7]

¿Entiendo que la pregunta principal es por qué se toma el punto más alto? La partícula tiene que pasar por ahí y por que pone condiciones para $V_0$, observa que el punto inicial, prácticamente no limita a $V_0$ solamente tiene que ser mayor que cero, el hecho que tiene que pasar por cualquier otro punto del círculo, va poniendo condiciones se puede analizar ; pero la condición más exigente, la pone el pasar por el punto más alto y el análisis dinámico hace lo demás, $V_0$. es mínimo cuando $N_1$ es cero.

Saludos

[medina00]

¿Entiendo que la pregunta principal es por qué se toma el punto más alto? La partícula tiene que pasar por ahí y por que pone condiciones para $V_0$, observa que el punto inicial, prácticamente no limita a $V_0$ solamente tiene que ser mayor que cero, el hecho que tiene que pasar por cualquier otro punto del círculo, va poniendo condiciones se puede analizar ; pero la condición más exigente, la pone el pasar por el punto más alto y el análisis dinámico hace lo demás, $V_0$. es mínimo cuando $N_1$ es cero.

Saludos

Entonces la velocidad mínima será en el punto más alto de la trayectoria? Por qué?

[Alriga]

Entonces la velocidad mínima será en el punto más alto de la trayectoria? Por qué?

Hazte un par de preguntas, si lanzas una piedra verticalmente hacia arriba, ¿dónde alcanza su velocidad mínima? Observa el movimiento de un péndulo, ¿dónde es mínima su velocidad?

Si no hay rozamiento, en estos movimientos se conserva la energía E=cte

$E=E_c+U$

$E=\dfrac 1 2 m v^2+mgh$

Despejamos la velocidad:

$v=\sqrt{\dfrac{2(E-mgh)}m}$

Analiza esa expresión: $E>0$, $m>0$, $g>0$ son constantes, por lo tanto la velocidad será mínima cuando la altura $h$ (que está restando) sea máxima.

Diciendo lo mismo de otro modo: si la energía total del sistema $E=E_c+U$ se conserva (es constante) la energía cinética (y por lo tanto la velocidad) serán mínimas, cuando la energía potencial (y por lo tanto la altura) sean máximas.

Y al revés, la velocidad será máxima cuando la altura sea mínima.

Saludos.

[medina00]

Hazte un par de preguntas, si lanzas una piedra verticalmente hacia arriba, ¿dónde alcanza su velocidad mínima? Observa el movimiento de un péndulo, ¿dónde es mínima su velocidad?

Si no hay rozamiento, en estos movimientos se conserva la energía E=cte

$E=E_c+U$

$E=\dfrac 1 2 m v^2+mgh$

Despejamos la velocidad:

$v=\sqrt{\dfrac{2(E-mgh)}m}$

Analiza esa expresión: $E>0$, $m>0$, $g>0$ son constantes, por lo tanto la velocidad será mínima cuando la altura $h$ (que está restando) sea máxima.

Diciendo lo mismo de otro modo: si la energía total del sistema $E=E_c+U$ se conserva (es constante) la energía cinética (y por lo tanto la velocidad) serán mínimas, cuando la energía potencial (y por lo tanto la altura) sean máximas.

Y al revés, la velocidad será máxima cuando la altura sea mínima.

Saludos.

Y última duda, al ser una trayectoria cerrada en la que solo intervienen fuerzas conservativas si me pidiesen calcular el trabajo sería 0 no? y el único trabajo que podrían pedirme sería el realizado por la fuerza gravitatoria o el trabajo neto sería el de la fuerza gravitatoria mas el de la normal?

[delmar7]

El trabajo de las fuerzas que actúan sobre esta partícula, siempre será el trabajo de la fuerza gravitatoria, (el trabajo de la fuerza normal es cero) y depende del punto inicial y final, en el caso particular que ambos coincidan, es cero. En rigor el trabajo de las fuerzas que actúan es la suma de los trabajos de las fuerzas; pero en este caso la fuerza normal hace siempre trabajo cero, entonces, el trabajo de las fuerzas que actúan es igual al trabajo de la fuerza gravitatoria.

Saludos

[medina00]

El trabajo de las fuerzas que actúan sobre esta partícula, siempre será el trabajo de la fuerza gravitatoria, (el trabajo de la fuerza normal es cero) y depende del punto inicial y final, en el caso particular que ambos coincidan, es cero. En rigor el trabajo de las fuerzas que actúan es la suma de los trabajos de las fuerzas; pero en este caso la fuerza normal hace siempre trabajo cero, entonces, el trabajo de las fuerzas que actúan es igual al trabajo de la fuerza gravitatoria.

Saludos

Entiendo, entonces en el caso de que me pidiesen el trabajo de la fuerza gravitatoria en una vuelta completa, este sería ya que el punto inicial y el final es el mismo.
Me ha quedado claro también el motivo de por que la velocidad es mínima en la parte mas alta. Lo único que no termino de encajar es la relación que pones arriba. Que fórmula/relación aplicas?
$\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-mgh$
No entiendo por que aplicas dos veces la energía cinética y la igualas al trabajo de la fuerza gravitatoria, (yo tengo el concepto de que al ser fuerza conservativa, la energía mecánica final= energía mecánica inicial y al ser el mismo punto la diferencia es 0 haciendo que el trabajo sea nulo)a ver si puedes aclararme de donde sacas esa igualdad para que pueda comprenderlo, muchas gracias! Lo que haces es calcular la energía mecánica en el punto inicial y la energía mecánica en el punto más alto simplemente?

[medina00]

Esto nada, ya lo he comprendido gracias!!

[medina00]

Vale entonces resumiendo. Primero debo hallar la velocidad mínima del sistema, que es en el punto más alto. Una vez obtenida hago el sumatorio de fuerzas del eje y igualándolo $=ma_n=m\frac{v^2}{R}$, siendo esa velocidad la mínima posible del sistema. Despejo V0 para obtener su valor. Y luego sustituyo la normal por 0 porque sería su valor en el caso de que se despegase la partícula de la vía anulando la normal al no existir contacto entre la vía y la partícula no??

[delmar7]

Sí es correcto.

Saludos

[Alriga]

La partícula de masa m se mueve en un círculo de radio R en el interior de una vía sin fricción. Cuando m se encuentra en la posición más baja su velocidad es $v_0$. ¿Cuál es el valor mínimo de esta velocidad para el cual la masa puede girar el círculo completo sin perder contacto con la vía?
Rpta.: $v_0^2 = 5Rg$

Hola medina00, comprueba si lo has hecho bien: Aplicamos la 2ª ley de Newton en el punto superior de la circunferencia que es donde la velocidad es mínima y por lo tanto también será mínima la aceleración centrípeta $a_n=v^2/R$

$mg - N=m a$

En el punto superior, solo hay fuerzas verticales, (el peso y la reacción normal), por lo tanto ahí no hay aceleración tangencial y la aceleración solo es centrípeta. Para que no pierda contacto con la vía, es necesario que $N\geq 0$

$mg - 0=m \dfrac{v^2}R$

$$v^2=gR$$

Aplicamos conservación de la energía, comparando el punto inferior de la circunferencia con el punto superior. Como en el punto inferior la altura es $h=0$ solo hay energía cinética, (la energía potencial es cero)

$E_i=\dfrac 1 2 m v_0^2+0$

En el punto superior:

$E_s=\dfrac 1 2 m v^2+mg 2R$

Conservación de la energía $\to E_i=E_s$

$$\dfrac{v_0^2}2=\dfrac{v^2}2+2gR$$

Sustituimos (1) en (2)

$\dfrac{v_0^2}2=\dfrac{gR}2+2gR$

$$v_0^2=5gR$$

Saludos.

[medina00]

En el punto superior, solo hay fuerzas verticales, (el peso y la reacción normal), por lo tanto ahí no hay aceleración tangencial y la aceleración solo es centrípeta. Para que no pierda contacto con la vía, es necesario que $N\geq 0$

Saludos.

Por que en el punto superior no hay aceleración tangencial? Aceleración tangencial=0 cuado v=cte no?

[Richard R Richard]

Por que en el punto superior no hay aceleración tangencial? Aceleración tangencial=0 cuado v=cte no?

Que fuerza sería la responsable de tal aceleración? Ninguna, pues entonces no hay tal aceleración, el objeto va disminuyendo el modulo de su velocidad debido a la componente tangencial del peso, pero justo en la vertical la componente tangencial es perpendicular al peso por lo tanto la aceleración tangencial es nula.

Lo que si hay es aceleracion radial o centrípeta la cual es igual al peso de ese modo la normal de contacto entre la masa y el círculo es mínima es decir se hace cero.

Saludos

[medina00]

Que fuerza sería la responsable de tal aceleración? Ninguna, pues entonces no hay tal aceleración, el objeto va disminuyendo el modulo de su velocidad debido a la componente tangencial del peso, pero justo en la vertical la componente tangencial es perpendicular al peso por lo tanto la aceleración tangencial es nula.

Lo que si hay es aceleracion radial o centrípeta la cual es igual al peso de ese modo la normal de contacto entre la masa y el círculo es mínima es decir se hace cero.

Saludos

Entonces en los demás puntos existe componente tangencial o no existe e ningún punto del recorrido?? y a la partícula se le ha debido aplicar una fuerza inicial para ponerla en movimiento y al no haber fuerza de rozamiento seguiría girando a una velocidad constante si no fuese por el peso?