Hallar la expresión de la Energía potencial asociada a la fuerza conservativa

[medina00]

Hallar la expresión de la Energía potencial asociada a la fuerza conservativa $\vec{F}(x)=-6x^2+1\hat{i}$ (S.I)si tomamos como origen
de potenciales cuando x = 2m . Rpta.: 2x3 – x –14.

No entiendo muy bien lo que me esta pidiendo. He calculado que la fuerza en x=2; F=-23N. Luego no se muy bien como seguir, al ser fuerza conservativa $Em_f=Em_i$ pero como solo me habla de la potencial quiere decir que no hay cinemática? Y si tengo que calcular la potencial respecto a que puntos??

[delmar7]

Hola

Cuando una fuerza es conservativa, existe una función potencial (energía potencial $\phi(x)$) la relación entre el el potencial y la fuerza conservativa, en este caso unidimensional es $\vec {F }=-\frac{d \phi}{dx} \vec{i}\Rightarrow (-6x^2+1)=-\frac{d \phi}{dx}$ en consecuencia la energía potencial se puede obtener por integración, en este caso es conveniente integrar desde x=2 hasta un x genérico, la razón es que se asume $\phi(2)=0$


Saludos

[Alriga]

Hallar la expresión de la Energía potencial asociada a la fuerza conservativa $\vec{F}(x)=-6x^2+1\hat{i}$ (S.I.) si tomamos como origen de potenciales cuando x = 2m
Rpta.: 2x3 – x –14

Supongo que "te has comido" los paréntesis y que lo que quieres decir es que la fuerza es $\boldsymbol{\vec F(x)=(-6x^2+1) \ \hat i}$

Cuando una fuerza $\vec F$ es conservativa se dice que "deriva de potencial", es decir, que existe una función energía potencial $U$ que cumple que $\vec F$ es el gradiente de $U$ cambiado de signo:

$\vec F=-grad \ U$

$\vec F=-\nabla U$

$\vec F=- \left ( \dfrac{\partial U}{\partial x} \ \hat i +\dfrac{\partial U}{\partial y} \ \hat j + \dfrac{\partial U}{\partial z} \ \hat k \right )$

Este caso es unidimensional, la fuerza solo tiene componente x

$\vec F(x)=-\dfrac{d U}{d x} \ \hat i$

$(-6x^2+1) \ \hat i=-\dfrac{d U}{d x} \ \hat i$

$dU=(6x^2-1) \ dx$

$\displaystyle U=\int (6x^2-1) \ dx$

$U(x)=2x^3-x+k$

Impón la condición de contorno para calcular la constante de integración y ya está

$U(2)=0 \to 0=2\cdot 2^3-2+k$

Saludos.

PD: recuerda que un campo vectorial es conservativo si y solo si, su rotacional es nulo. Para "que no nos engañen en el enunciado" deberíamos comprobar que en este caso se cumple que $\nabla \times \vec F=0$