Masa en cinta transportadora

[CesarPerez]

He tratado de resolver un problema al que llego siempre a dos soluciones diferentes. ¿Alguien puede ayudarme a encontrar el error?

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Una cinta transportadora cargada con arena tiene una masa total m_o y se mueve con velocidad v. En t=0s un tubo alimentador comienza a depositar arena sobre la cinta, de forma que la masa aumenta como m(t)=m_o+kt con k>0. ¿Qué fuerza hay que aplicar a la cinta para que su velocidad no varíe?
Yo lo he resuelto así: F(t)=dp/dt
y p=(mo+kt)·v => dp/dt=m·a+v·dm/dt=0+v·k
luego F(t)=v·k.

Hasta aquí lo entiendo.
Veamos ahora que energía ha aportado la fuerza aplicada durante un tiempo T:

Método 1:
Ec inicial = 1/2·m_o·v²
Ec final = 1/2·(m_o+kT)·v²
inc Ec = 1/2·kT·v² (resultado 1)

Método 2:
dW = F·ds = k·v·ds = k·v·v·dt
Integrando, inc W = k·v²·T (resultado 2) que es el doble que el resultado 1.

No veo qué es lo que está mal, pero evidentemente algo está mal...
¿Alguna idea?

[Richard R Richard]

Hola, CesarPerez ten en cuenta que la arena que se está moviendo a velocidad constante no necesita fuerza para mantener su movimiento, solo hay que acelerar la que cae sobre la cinta.

$F=\dfrac{dP}{dt}= \dfrac{dm}{dt}v+m\cancelto{0}{\dfrac{dv}{dt}}=\dfrac{d(m_o+kt)}{dt}v=kv$ esta parte esta bien

la Energía que aporta la cinta es la energía final menos la inicial

$\Delta E=\dfrac{1}{2}m v^2-\dfrac{1}{2}m_0 v^2=\dfrac{1}{2}(m_0+kt-m_0) v^2=\dfrac{1}{2}kt v^2$

Al segundo método no le veo razón de existir, no tienes la distancia que recorre la arena sobre la cinta hasta que acelera a la velocidad v.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Efectivamente, no se sabe el tiempo (ni tampoco la distancia) que tardan los granos de arena en pasar de una velocidad horizontal nula, a una velocidad horizontal $v$ (la de la cinta transportadora), pero su aceleración sería

$a=\dfrac{F}{\Delta m}=\dfrac{kv}{\Delta m}$

De la Cinemática, $d=\dfrac{v^2}{2a}$. Sustituyendo la primera expresión, $d=\dfrac{\Delta m\cdot v}{2k}$

Finalmente, $W=Fd=\dfrac{1}{2}\cdot\Delta m\cdot v^2=\dfrac{1}{2}ktv^2$

Saludos cordiales,
JCB.