Hallar trabajo de la fuerza de rozamiento

[medina00]

Una partícula de 2 kg se mueve encajada sobre un carril que al principio es horizontal y luego se curva en forma de semicircunferencia de radio R = 2m. La partícula está sujeta a un muelle de constante elástica K = 100 N/m y longitud natural 1m, y sometida a la acción de una fuerza $\vec{F}$ conservativa. Se suelta con una velocidad inicial de 50 m/s , punto (R,0), y se observa que llega a la parte superior de la pista semicircular con velocidad nula. El valor de la energía potencial asociada a la fuerza $\vec{F}$ es $Ep = -2 x2y$, con el origen de energías potenciales en el punto (0,0).
a) Hallar el trabajo de la fuerza de rozamiento. -3004,5 J
b) El coeficiente de rozamiento varia con la posición de tal manera que en todo el recorrido la fuerza de rozamiento en la partícula es de modulo constante. Hallar el valor de la fuerza de rozamiento. 292.3 N
c) Hallar la expresión de la fuerza $\vec{F}$



He calculado el valor del trabajo de la fuerza elástica:$W_{fe}=\Delta F_e=0,5\cdot 100\cdot(3,37)^2=11356J$
He calculado el valor del trabajo de la fuerza gravitatoria:$W_{fg}=-\Delta F_g=-2\cdot 9,8\cdot 4=-78,4J$
Luego no se muy bien que hacer con el valor de la energía potencial asociada a la fuerza. Me quedo asi:
$W_F=\int_{a}^{b} F\cdot dr=\int_{-2}^{2} -2\cdot 0 dx + \int_{0}^{2\pi} -2\cdot x^2\cdot y$

[delmar7]

Hola

El $W_{fg}=-78.4$ J es correcto

El $W_{fe}=-(E_{pe_f}-E_{pe_i})=-(\frac{1}{2} \ K \ d_f^2- \frac{1}{2} \ k \ d_i^2)$ donde $E_{pe_f}, \ E_{pe_i}$ son la energía potencial elástica final e inicial respectivamente y $d_f, \ d_i$ son las deformaciones final e inicial del resorte en este caso $d_f=R-Lo=2-1=1m \ \ \ d_i=\sqrt{(2R)^2+R^2}-Lo=2 \sqrt{5}-1$ donde Lo es la longitud natural del resorte, sutituyendo $W_{fe}=552.786$ J

$W_F=-(E_{pF_f}-E_{pF_i})=-(-2x_f^2y_f-(-2x_i^2y_i))$ donde $E_{pF_f}, \ E_{pF_i}$ son la energía potencial de F final e inicial respectivamente, esto esta en función de sus coordenadas (x,y) en este caso $x_f=-R, \ y_f=2R, \ x_i=R, \ y_i=0$

Aplica el teorema de la energía :

$0-(1/2)mv^2=W_F+W_g+W_{fe}+W_{roz}$ despeja la incógnita y se obtiene la respuesta.

Saludos

[medina00]

Hola

El $W_{fg}=-78.4$ J es correcto

El $W_{fe}=-(E_{pe_f}-E_{pe_i})=-(\frac{1}{2} \ K \ d_f^2- \frac{1}{2} \ k \ d_i^2)$ donde $E_{pe_f}, \ E_{pe_i}$ son la energía potencial elástica final e inicial respectivamente y $d_f, \ d_i$ son las deformaciones final e inicial del resorte en este caso $d_f=R-Lo=2-1=1m \ \ \ d_i=\sqrt{(2R)^2+R^2}-Lo=2 \sqrt{5}-1$ donde Lo es la longitud natural del resorte, sutituyendo $W_{fe}=552.786$ J

$W_F=-(E_{pF_f}-E_{pF_i})=-(-2x_f^2y_f-(-2x_i^2y_i))$ donde $E_{pF_f}, \ E_{pF_i}$ son la energía potencial de F final e inicial respectivamente, esto esta en función de sus coordenadas (x,y) en este caso $x_f=-R, \ y_f=2R, \ x_i=R, \ y_i=0$

Aplica el teorema de la energía :

$0-(1/2)mv^2=W_F+W_g+W_{fe}+W_{roz}$ despeja la incógnita y se obtiene la respuesta.

Saludos

Me quedan los siguientes resultados:
$W_Fe=552J$
$W_g=-78,4J$
$W_F=32J$
$W_Ec=-2500J$
$W_Fr=2941,6J$

Estarían bien?
Después en el apartado b que quiere decir que el coeficiente de rozamiento varia con la posición de tal manera que en todo el recorrido la fuerza de rozamiento en la partícula es de modulo constante?? Si hago el diagrama de cuerpo libre necesitaría el ángulo de la fuerza F con la normal para calcular la fuerza de rozamiento??

[delmar7]

Los cuatro primeros resultados están bien; pero el último no, ha de haber error operativo, ojo si consideras g=10, ha de salir exacta la respuesta del problema.
La fuerza rozamiento $F_{roz}=\mu N$ es proporcional a la reacción normal, pero N es variable entonces para que la fuerza rozamiento sea constante, el coeficiente de rozamiento ha de ser variable también; pero lo que importa es que $F_{roz}=C$ es constante en toda la trayectoria y en esas condiciones $W_{roz}=F_{roz}L$ donde L es la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula. L se puede calcular.

Saludos

[medina00]

Los cuatro primeros resultados están bien; pero el último no, ha de haber error operativo, ojo si consideras g=10, ha de salir exacta la respuesta del problema.
La fuerza rozamiento $F_{roz}=\mu N$ es proporcional a la reacción normal, pero N es variable entonces para que la fuerza rozamiento sea constante, el coeficiente de rozamiento ha de ser variable también; pero lo que importa es que $F_{roz}=C$ es constante en toda la trayectoria y en esas condiciones $W_{roz}=F_{roz}L$ donde L es la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula. L se puede calcular.

Saludos

$W_{roz}=F_{roz}L$ esta fórmula no incluye el producto del ángulo entre el vector desplazamiento y la fuerza de rozamiento??

[delmar7]

No, la razón es que la fuerza rozamiento será siempre tangente a la velocidad y por ende a la trayectoria, por eso se la puede simplificar de esa manera.

Saludos

[delmar7]

Complemento a mi aporte anterior y lo corrijo explicando, cuando la fuerza es tangente a la trayectoria, tiene la misma dirección que la velocidad, en esa circunstancia el ángulo entre la fuerza y la velocidad o el $\vec{dr}$ es $\theta=0 \Rightarrow cos \theta=1$ y se puede deducir que $W_{roz}=F_{roz}L$ donde L, es la longitud de la trayectoria.

Saludos

[medina00]

Complemento a mi aporte anterior y lo corrijo explicando, cuando la fuerza es tangente a la trayectoria, tiene la misma dirección que la velocidad, en esa circunstancia el ángulo entre la fuerza y la velocidad o el $\vec{dr}$ es $\theta=0 \Rightarrow cos \theta=1$ y se puede deducir que $W_{roz}=F_{roz}L$ donde L, es la longitud de la trayectoria.

Saludos

No sería así??

[Richard R Richard]

Hola, si todas las fuerzas intervinientes son conservativas, la energia necanica se conserva en todos los puntos de la trayectoria.
Como hay rozamiento la caída de energía mecánica obedece exclusivamente al trabajo de la fuerza de rozamiento.
Así que el cálculo de dicho trabajo es igual a la diferencia de energia mecánica entre los puntos inicial y final. Eso te resuelve a).

Evaluas la diferencias de los potenciales inicial y final y las energías cinéticas en dichos puntos, lo que queda de diferencia es lo que se ha perdido por rozamiento.

Como te dicen que el modulo de la fuerza de roce es constante durante toda la trayectoria. Y sabes que el angulo respecto a la tangente de la trayectoria es siempre el mismo 180°, la fuerza de rozamiento, se puede sacar fuera de la integral
$W_{fr}=\int_LF_rdl \cos\theta=-F_r\int_Ldl=F_rL\quad\to\quad F_r=-\dfrac{W_{fr}}{L}$

la fuerza externa F puede obtenerse a través de su potencial sabiendo que es el menos gradiente del potencial asociado

$\vec F=-\nabla \Phi$

saludos

[medina00]

Hola, si todas las fuerzas intervinientes son conservativas, la energia necanica se conserva en todos los puntos de la trayectoria.
Como hay rozamiento la caída de energía mecánica obedece exclusivamente al trabajo de la fuerza de rozamiento.
Así que el cálculo de dicho trabajo es igual a la diferencia de energia mecánica entre los puntos inicial y final. Eso te resuelve a).

Evaluas la diferencias de los potenciales inicial y final y las energías cinéticas en dichos puntos, lo que queda de diferencia es lo que se ha perdido por rozamiento.

Como te dicen que el modulo de la fuerza de roce es constante durante toda la trayectoria. Y sabes que el angulo respecto a la tangente de la trayectoria es siempre el mismo 180°, la fuerza de rozamiento, se puede sacar fuera de la integral
$W_{fr}=\int_LF_rdl \cos\theta=-F_r\int_Ldl=F_rL\quad\to\quad F_r=-\dfrac{W_{fr}}{L}$

la fuerza externa F puede obtenerse a través de su potencial sabiendo que es el menos gradiente del potencial asociado

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

saludos

Gracias por tu explicación, lo único que no termino de ver claro es por que el ángulo entre la fuerza de rozamiento y el vector desplazamiento es 180º. El vector desplazamiento tiene origen en el punto inicial A y final en el punto inicial B no? y la fuerza de rozamiento es tangente a la trayectoria no? Debo usar el ángulo entre la fuerza de rozamiento y la trayectoria o el ángulo entre la fuerza de rozamiento y el vector desplazamiento??

[delmar7]

Se usa el angulo entre la fuerza de rozamiento y la trayectoria y en efecto es 180º
Saludos

[medina00]

Los cuatro primeros resultados están bien; pero el último no, ha de haber error operativo, ojo si consideras g=10, ha de salir exacta la respuesta del problema.
La fuerza rozamiento $F_{roz}=\mu N$ es proporcional a la reacción normal, pero N es variable entonces para que la fuerza rozamiento sea constante, el coeficiente de rozamiento ha de ser variable también; pero lo que importa es que $F_{roz}=C$ es constante en toda la trayectoria y en esas condiciones $W_{roz}=F_{roz}L$ donde L es la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula. L se puede calcular.

Saludos

Respecto al trabajo de la fuerza de rozamiento me queda: $W_{fr}=W_{ec}-W_f-W_g-W_{fe}=-2500+32+78,4-552=-2941J$
Según el solucionario me debe dar -3004,5J, pero no encuentro mi error.

[Richard R Richard]

Habrás querido decir

Respecto al trabajo de la fuerza de rozamiento me queda: $W_{fr}=\Delta E_{c}-W_f-W_g-W_{fe}=-2500+32+78,4-552=-2941J$
Según el solucionario me debe dar -3004,5J, pero no encuentro mi error.

No hay error las cuentas dan eso.

[delmar7]

Me quedan los siguientes resultados:
$W_Fe=552J$
$W_g=-78,4J$
$W_F=32J$
$W_Ec=-2500J$
$W_Fr=2941,6J$

Estarían bien?
Después en el apartado b que quiere decir que el coeficiente de rozamiento varia con la posición de tal manera que en todo el recorrido la fuerza de rozamiento en la partícula es de modulo constante?? Si hago el diagrama de cuerpo libre necesitaría el ángulo de la fuerza F con la normal para calcular la fuerza de rozamiento??

Esos valores son correctos sencillamente $W_{roz}=-2500-32-(-78.4)-552=-3005.6$ pero si consideras g=10, se obtiene -3004, ojo el trabajo de la fuerza F es positivo $W_F=32$

Saludos

[medina00]

Esos valores son correctos sencillamente $W_{roz}=-2500-32-(-78.4)-552=-3005.6$ pero si consideras g=10, se obtiene -3004, ojo el trabajo de la fuerza F es positivo $W_F=32$

Saludos

Según el teorema de la energía el trabajo total de todas las fuerzas es igual al trabajo de la energía cinética?? o influye que sean o no conservativas??