Esfera rodando dentro de un cono

[plocobio]

Buenas! me he topado con un ejercicio un tanto peculiar os dejo el enunciado:


Una esfera de radio $r$ y masa $m$ rueda sin deslizar por el interior de un cono de semiángulo $\theta$, con su centro a una altura $h$ del vértice del cono, tal y como muestra la figura. De forma que la esfera recorre una trayectoria circular centrada en el eje del cono. Calcula

1. La velocidad angular de rotación de la esfera sobre sí misma
2. La energía cinética de la esfera

El ejercicio se resolvió pero la verdad no lo comprendí. En especial, lo que me chocó es que se comentó que el rozamiento estático era nulo. Hasta donde se, el rozamiento estático es necesario para que un sistema pueda rodar sin deslizamiento. Yo me lo imagino como una rueda intentando avanzar en hielo, como el rozamiento es muy bajo, esta rueda patina.

Si alguien puede resolver el ejercicio para aclararme esta duda

[JCB]

Hola a tod@s.

Parece que la sustancia del ejercicio radica en determinar primero, el radio de giro $(R)$ del centro $(O)$ de la esfera, respecto del eje (vertical) del cono. Haciendo un poco de Trigonometría, llego a que $R=(h-r\sin\theta)\tan\theta-r\cos\theta$

La velocidad del centro de la esfera es $v_O=\omega R$. Al considerar una rodadura sin deslizamiento, la velocidad del centro de la esfera, también puede expresarse como $v_O=\omega' r$. Igualando y despejando,

$\omega'=\dfrac{\omega R}{r}=\dfrac{\omega(h-r\sin\theta)\tan\theta}{r}-\omega\cos\theta$

Saludos cordiales,
JCB.

[plocobio]

Muchas gracias por la respuesta!

Yo estaba intentando relacionar la velocidad angular por el hecho de girar en círculos en el cono (usando 2º ley de Newton y teniendo en cuenta la aceleración centrípeta) pero, mi problema era el rozamiento que no se cómo tratarlo,

Si pudieras aclararme el tema del rozamiento, si es o no nulo por favor

Muchas gracias de antemano!

[JCB]

Hola a tod@s.

La velocidad angular $\omega$ del centro de la esfera, puede determinarse aplicando la segunda ley, a una dirección paralela a la generatriz del cono, y a una dirección perpendicular (normal) a la generatriz.

Paralela: $\sum{F_{\parallel}}=m\omega^2R\sin\theta$

$-\mu N+mg\cos\theta=m\omega^2R\sin\theta$

Perpendicular: $\sum{F_{\perp}}=m\omega^2R\cos\theta$

$-mg\sin\theta+N=m\omega^2R\cos\theta$

De esta manera,

$\omega=\sqrt{\dfrac{g(\cos\theta-\mu\sin\theta)}{R(\mu\cos\theta+\sin\theta)}}$

Nota: el planteamiento que he hecho, se basa en obtener una velocidad angular $\omega$ mínima, para que la esfera no caiga hacia el vértice del cono. Para esto, la fuerza de rozamiento es la máxima, $\mu N$ (siendo $\mu$ el coeficiente de rozamiento estático), con la dirección de la generatriz, y el sentido hacia arriba.

Saludos cordiales,
JCB.

[plocobio]

Hola a tod@s:

Lo que me estuve planteando respecto al rozamiento es: si este existe, ejercerá un momento que cambiará la posición sobre el cono de la esfera entonces, como el enunciado me dice que la altura del centro de masas de la esfera no cambia es necesario que esta fuerza sea nula.

Una vez dicho esto, repito el mismo proceso que has puesto arriba para obtener la velocidad del centro de masas debido a la rotación respecto dele eje del cono y, luego relaciono esta velocidad con la velocidad angular de rotación de la esfera a través de la condición de rodadura.

Esto es lo único que me cuadra para poder justificar lo que me comentaron de que la fuerza de rozamiento era nula, ¿Qué os parece?

Saludos

[Richard R Richard]

Hola, la fuerza de rozamiento no es nula, si lo fuera la esfera no tendría necesidad de girar sobre ningún eje o podria girar en cualquiera arbitrario, y aún así habría el mismo equilibrio de fuerzas en la vertical.
Es decir la componente vertical de rozamiento estático es nula pero no las del plano horizontal.
Si la esfera no tuviera velocidad horizontal, deslizará hacia abajo por el cono hacia el vertice, solo en el caso en que el rozamiento no sea nulo, la esfera acelerar su rotación, suponer rodadura es el caso especial donde el rozamiento es el necesario para que la velocidad relativa de la superficie del cono y la esfera sea nula.
Pero en el caso con velocidad, que no acelere hacia el vértice se debe a que la fuerza centrípeta se iguale a la componente horizontal de la normal, y el peso con la componente vertical, no hay manera de suponer un rozamiento que no sea el causante de un giro hacia abajo por rodadura cambiando el radio de giro. Como esto último no sucede supones cero a esa componente vertical.

[plocobio]

A mi tmb me choca que se comentara que no habría rozamiento, lo mismo lo mal interpreté y se refería a que la fuerza de rozamiento está contenida en un plano perpendicular es decir, la fuerza de rozamiento estaría en la dirección z del esquema de fuerzas de esta figura

Es lo único que se me ocurre para no tener que incluirlo en la sumatoria de fuerzas de los ejes x e y representados ya que, el problema no proporciona el valor de $\mu$ por lo que no puedo dar el resultado en función de este. Si alguien puede confirmarme o no lo que acabo de decir por favor

Gracias y un saludo!!

[kennyming]

Yo entendí la pregunta como la velocidad angular de la esfera girando "sobre sí misma", os dejo como lo haría yo.



Las fuerzas actuando en la esfera son el peso $W=-mg$ , masa $m$ por la aceleración de la gravedad $-g$; y la fuerza centrífuga $F_c= m\omega_1^2 R$, donde $m$ es la masa, $\omega_1$ la velocidad angular y $R$ el radio, en perpendicular al eje del cono, desde dicho eje al centro de la esfera.

Con las coordenadas a lo largo y en perpendicular a la pendiente del cono. Tenemos que la fuerza $F_2$ hacia el vertice del cono es
$F_2 = W\cos\theta=-mg\cos\theta$
Y el componente de la fuerza centrífuga a lo largo de la pendiente $F_1$ es
$F_1=F_c\sin\theta=m\omega_1^2R\sin\theta$

Suponemos que la esfera gira en el cono a la misma altura entonces tenemos que
$F_1+F_2=0$
$m\omega_1^2R\sin\theta - mg\cos\theta = 0$

Nota, como la esfera no se mueve hacia arriba o hacia abajo no hay fricción en esa dirección, y podemos ignorarla. Otra forma de verlo es que la fricción hacia arriba y hacia abajo se cancelan.
Nota, la componente del peso en dirección a la superficie del cono y la normal, perpendicular a la superficie, se cancelan una a otra. La esfera no se levanta ni se hunde en el cono.

Resolviendo por $\omega_1$ tenemos
$\omega_1=\sqrt{\frac{g\cos\theta}{R\sin\theta}}$
Esta es la velocidad angular necesaria para que la esfera gire en el cono sin que varíe su altura.



Editado: Esta parte no es correcta. Corregido en post #14 más abajo.

Para determinar la velocidad angular de rotación de la esfera sobre sí misma podemos usar el desplazamiento de la esfera sobre la superficie del cono $s=(R+r)\omega_1$, donde $r$ es el radio del la esferea. De nuevo sabiendo que la velocidad angular viene dada por $s=r\omega_2$, donde $\omega_2$ es la velocidad angular de rotación de la esfera, obtenemos la siguiente equación
$(R+r)\omega_1=r\omega_2$
Despejando $\omega_2$
$\omega_2=\frac{(R+r)\omega_1}{r}$
Poniendo el resultado obtenido para $\omega_1$
$\omega_2=\frac{(R+r)\sqrt{\frac{g\cos\theta}{R\sin\theta}}}{r}$
$\omega_2=\frac{(R+r)\sqrt{g\cos\theta}}{r\sqrt{R\sin\theta}}$


Editado: Esta parte no es correcta, tex]R[/tex] no es $h\sin\theta$. Corregido en post #14 más abajo.

Por completar, el diagrama nos da la altura $h$ en lugar del radio al centro de la esfera $R$, solo quedaría substituir $R=h\sin\theta$ (esto es una aproximación que no toma en cuenta el radio de la esfera $r$).

Por tanto la formula
$\omega_2=\frac{(h\sin\theta+r)\sqrt{g\cos\theta}}{r\sqrt{h\sin\theta\sin\theta}}$
$\omega_2=\frac{(h\sin\theta+r)\sqrt{g\cos\theta}}{r\sqrt{h\sin^2\theta}}$
Nos da la velocidad angular de la esfera sobe sí misma, en terminos de las variables enunciadas en el problema.

(2) La energía cinética la podemos calcular con $E_c=\frac{1}{2}mv^2$. De nuevo el desplazamiento de la esfera en un segundo es $v=R\omega_1$. Y nos queda como resultado
$E_c=\frac{1}{2}mR^2\omega_1^2$


Saludos

[Richard R Richard]

(2) La energía cinética la podemos calcular con $E_c=\frac{1}{2}mv^2$. De nuevo el desplazamiento de la esfera en un segundo es $v=R\omega_1$. Y nos queda como resultado
$E_c=\frac{1}{2}mR^2\omega_1^2$


Saludos

Hola , no he revisado todos tus cálculos pero la energía cinética e la bola consta de dos partes, una energía cinetica de traslación del CM de la esfera girando sobre el eje del cono y otra debido interna sobre el eje de la propía esfera por rodadura , así que allí te falta un término.


Pd si quieres ser riguroso y descontar el radio de la esfera al radio de giro, ten en cuenta que el CM de la esfera esta levemente mas lejos del eje del cono debido a que la proyeccion vertical del radio sobe el plano horizontal no es exactamente $r$ sino $r \cos\theta$.

[Richard R Richard]

equilibrio horizontal

$N\cos\theta=m \dfrac{v_{cm}^2}{r_c-r\cos\theta}$

equilibrio vertical

$N\sin\theta-mg=0$

donde $r_c$ es el radio del cono en el punto de contacto

la velocidad angular para rodadura de la bola surge de igualar las trayectoria con puntos de tangencia común

$\omega r=\omega_tr_c =\dfrac{v_{cm}}{r_{cm}}r_c=\dfrac{v_{cm}}{r_c-r\cos \theta}r_c$


la energía cinética será

$E_c=\dfrac12 \dfrac{2}{5}mr^2\omega^2+\dfrac12mv_{cm}^2$

[JCB]

... / ...
Resolviendo por $\omega_1$ tenemos
$\omega_1=\sqrt{\frac{g\cos\theta}{R\sin\theta}}$
Esta es la velocidad angular necesaria para que la esfera gire en el cono sin que varíe su altura.
... / ...

Hola a tod@s.

Fíjate, kennyming, que tu expresión de la velocidad angular del centro de la esfera, coincide con la que indiqué en el mensaje # 4,

$\omega=\sqrt{\dfrac{g(\cos\theta-\mu\sin\theta)}{R(\mu\cos\theta+\sin\theta)}}$, haciendo $\mu=0$.

Es decir, que tú consideras que no hay rozamiento, pero según el enunciado del mensaje # 1, la esfera rueda sin deslizar. No veo compatible que una esfera ruede sin deslizar, en ausencia de rozamiento.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

... / ...

Para determinar la velocidad angular de rotación de la esfera sobre sí misma podemos usar el desplazamiento de la esfera sobre la superficie del cono $s=(R+r)\omega_1$, donde $r$ es el radio del la esferea. De nuevo sabiendo que la velocidad angular viene dada por $s=r\omega_2$, donde $\omega_2$ es la velocidad angular de rotación de la esfera, obtenemos la siguiente equación
$(R+r)\omega_1=r\omega_2$
Despejando $\omega_2$
$\omega_2=\frac{(R+r)\omega_1}{r}$
... / ...

Hola a tod@s.

En cuanto a esto, entiendo que no se puede utilizar la velocidad del punto de contacto entre la esfera y el cono, porque es . En su lugar, debe usarse la velocidad del centro $O$ de la esfera.

$v_O=\omega R$, respecto del eje del cono, siendo $R$ la distancia entre el eje del cono y el centro $O$ de la esfera.

Y también, $v_O=\omega'r$, respecto del punto de contacto entre la esfera y el cono. Igualando,

$\omega'=\dfrac{\omega R}{r}$

tal y como indiqué en el mensaje # 2.

Saludos cordiales,
JCB.

[kennyming]

Fíjate, kennyming, que tu expresión de la velocidad angular del centro de la esfera, coincide con la que indiqué en el mensaje # 4,

Hola JBC,

Si veo que las expresiones coinciden.

Yo lo hice así porque por el enunciado entiendo que "sin deslizar" se refiere a que no se desliza ni hacia arriba ni hacia abajo de la pendiente del cono. Por supuesto hay una fuerza de rozamiento en su movimiento circular, y la bola no se desliza sino que gira en ese sentido, pero esta fuerza es paralela al plano horizontal y tangencial a la dirección del movimiento, con lo cuál la componente de esta fuerza en la dirección de la pendiente, el eje $i$ en el dibujo, es zero.

Saludos

[kennyming]

Hola , no he revisado todos tus cálculos pero la energía cinética e la bola consta de dos partes, una energía cinetica de traslación del CM de la esfera girando sobre el eje del cono y otra debido interna sobre el eje de la propía esfera por rodadura , así que allí te falta un término.

¡Sí, es verdad! Me falta un término, lo que yo tengo es solo la de translación. Gracias por apuntarlo.

Pd si quieres ser riguroso y descontar el radio de la esfera al radio de giro, ten en cuenta que el CM de la esfera esta levemente mas lejos del eje del cono debido a que la proyeccion vertical del radio sobe el plano horizontal no es exactamente $r$ sino $r \cos\theta$.

Gracias de nuevo. Correcto, lo hago de nuevo por practicar.
Uso $\tan\theta$ para poder expresar $R$ en términos de $h$ y de $r$.


Según el dibujo tenemos que $R+R'=h\tan\theta$, y que $R'=\frac{r}{\cos\theta}$.
Así que nos queda que
$R=h\tan\theta-\frac{r}{\cos\theta}$


Luego

El recorrido que hace la bola sobre la superficie del cono durante un segundo es
$s=\omega_1R_c$
Observando el dibujo tenemos que
$R_c=(h-h')\tan\theta$ y $h'=r\tan\theta$.
Nos queda
$s=\omega_1(h\tan\theta-r\tan^2\theta)$
La velocidad angular de la esfera sobre sí misma es
$\omega_2=\frac{s}{r}=\frac{\omega_1(h\tan\theta-r\tan^2\theta)}{r}$

Saludos