Secundaria Encuentro de dos movimientos parabólicos

[Xaora]

Hola!
Quería plantear un problema, a ver si puedo encontrar la solución:
Se trata de dos bolas, una roja y una verde. La verde se lanza desde el suelo con un ángulo de inclinación de 60º y con una velocidad inicial de 30 m/s. En el mismo instante, se lanza la bola roja desde una altura de 20 m, con un ángulo de inclinación de 30º y con una velocidad inicial de 25 m/s. La pregunta es, ¿cuándo y dónde se encuentran?
Según mis cálculos se encontrarían en el punto (22,1185;27,6561) m y a un tiempo de 1,4746 s.
No sé si los resultados que puse son correctos. En caso de que alguien me confirme que así es, tengo una pregunta después.
Muchas gracias!

[Take It Easy]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Hola Xaora. Creo que en el enunciado falta un dato: las componentes horizontales de los vectores de posición inicial. Si esta componente es la misma para los dos cuerpos, (por ejemplo, la bola verde se lanza desde el portal de un edificio y la roja desde una ventana del mismo edifico), no se encontrarán jamás, ya que las componentes horizontales de la velocidad (que son constantes) son diferentes y, si salen al mismo tiempo, una siempre estará por delante de la otra.

[Xaora]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Sí, cierto. Las dos bolas están en la misma posición x. Para hacer los cálculos tomé el punto (0,0) m, como posición inicial para la bola verde y (0,20) m, para la bola roja.

[The Higgs Particle]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Take It Easy te está respondiendo

Si esta componente es la misma para los dos cuerpos no se encontrarán jamás, ya que las componentes horizontales de la velocidad (que son constantes) son diferentes y, si salen al mismo tiempo, una siempre estará por delante de la otra

A ti te sale el $1.48$ s, si no me equivoco, de igualar $y(x)=y'(x)$ (donde una es la posición en la vertical de la bola roja y la otra de la verde). Creo que lo que luego has hecho ha sido sustituir este resultado ($t=1,48 (s)$) en la fórmula de la posición horizontal de la bola verde. Te propongo que pruebes a hacer lo mismo con la fórmula de posición horizontal de la bola roja y compares los resultados.

[Xaora]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Sí, para ese tiempo, las posiciones y son iguales. Es decir, las dos bolas están a 27,6561 m. Pero las posiciones x, no lo son. Una toma de valor 22,25 y otra 32,12 m. Por lo tanto para ese tiempo no se encontrarían. Entonces, ¿para qué tiempo se encuentran? ¿Y cuál es su posición?

[The Higgs Particle]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

En el aire no se encuentran nunca. Hay un momento, a los $1.48(s)$, en la cual ambas están a la misma altura, pero a más de 10 m (en la horizontal) de distancia. Si quieres, dibújate las gráficas de los movimientos para que puedas verlo.

[Xaora]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Precisamente, calculé la ecuación de la trayectoria de cada bola y resolví el sistema para calcular la posición de encuentro. Si represento esas dos parábolas si se cortarían

[The Higgs Particle]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Precisamente, calculé la ecuación de la trayectoria de cada bola y resolví el sistema para calcular la posición de encuentro. Si represento esas dos parábolas si se cortarían

Pero eso lo que te dice es que ambas pelotas pasan por el punto $P(22.118, 27.656)$, no que lo hagan al mismo tiempo.

Como puedes comprobar, la verde llega a ese punto en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , mientras que la roja tarda $t_r = \dst \frac{22.118}{25 \times \cos(30)}=1.02(s)$

[Richard R Richard]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Hola!
La pregunta es, ¿cuándo y dónde se encuentran?

Yo diria que cuando se lancen separados una distancia minima de ..blablabla... uno del otro y el tiempo minimo para que se alcancen será de bla bla bla.....

osea tienes que hallar cual es la sepacion espacial que permite el alcance y en que tiempo a que tiempo se da...

Habra dos soluciones una si los lanzamientos son en la misma direcccion y otra en que las velocidades horizontales sean opuestas.


Saludos

[Xaora]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Ah... vale. Se cruzan las trayectorias, pero las bolas no pasan por ese punto al mismo tiempo, que no es lo mismo. Por lo tanto, si he entendido bien, sólo sería posible que se encontraran si las velocidades horizontales son iguales. En cualquier otro caso no se encontrarían nunca fuesen cuales fuesen las alturas iniciales y los ángulos iniciales?

[Richard R Richard]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Ah... vale. Se cruzan las trayectorias, pero las bolas no pasan por ese punto al mismo tiempo, que no es lo mismo. Por lo tanto, si he entendido bien, sólo sería posible que se encontraran si las velocidades horizontales son iguales. En cualquier otro caso no se encontrarían nunca fuesen cuales fuesen las alturas iniciales y los ángulos iniciales?

Claro si supones que la coordenada x de partida es la misma para ambas bolas, que la coordenada x de cruce también lo es y como además tienes que suponer que el cruce es en el mismo momento entonces la única opción es que las velocidades en ese eje sean iguales.

también tienes que tener en cuenta que el enunciado tampoco es claro en decir si el angulo con respecto a la horizontal es hacia arriba o hacia abajo....

si el suelo impone un limite para el alcance debes chequear que y>0 para el tiempo de la solución

$$v_{x1}=v_1\cos\alpha_1$$

$$v_{y1}=v_1\sin\alpha_1$$

$$v_{x2}=v_2\cos\alpha_2$$

$$v_{y2}=v_2\sin\alpha_2$$

$$x_1=x_{o1}+v_{x1}t$$

$$x_2=x_{o2}+v_{x2}t$$

$$x_e=x_{o1}+v_{x1}t=x_{o2}+v_{x2}t$$

$$t=\dfrac{x_{o1}-x_{o2}}{v_{x2}-v_{x1}}$$

$$D=x_{o1}-x_{o2}$$

$$y_1=y_{o1}+v_{y1}t-\frac12g t^2$$

$$y_2=y_{o2}+v_{y2}t-\frac12g t^2$$

$$y_e=y_{o1}+v_{y1}t-\frac12g t^2=y_{o2}+v_{y2}t-\frac12g t^2$$

$$t=\dfrac{y_{o1}-y_{o2}}{v_{y2}-v_{y1}}$$

$$\Delta h=y_{o1}-y_{o2}$$

de 8 y 13

$$\dfrac{x_{o1}-x_{o2}}{v_{x2}-v_{x1}}=\dfrac{y_{o1}-y_{o2}}{v_{y2}-v_{y1}}$$

la ecuacion 15 resume todos los posibles encuentros

en particular si $D=0$ debe cumplirse $v_{x2}-v_{x1}=0$ y ademas que almenos $v_{y2}-v_{y1}>0$ sino la bola no alcanzaría nunca a recorrer la distancia entre $y_{o1}$ y $y_{o2}$ en tiempos $t>0$

[Xaora]

Re: Encuentro de dos movimientos parabólicos

Perfectísimamente explicado, Richard R Richard. Doy el tema por zanjado. Muchas gracias a todos los que os preocupasteis en contestar.