Otras carreras Velocidad mínima + momento de inercia

[liam_gallagher]

Hola, hice este ejercicio y quiero comprobar si esta bueno o malo, cualquier respuesta muchas gracias.


Considere un cubo de arista $$L$$ y masa $$M$$ que se desliza por un plano horizontal (sin roce) con velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . En cierto lugar el cubo se encuentra con un tope. ¿Cuál es la mínima velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con la que debe ir el cubo para poder volcarse?

[[Beto]]

Re: Velocidad mínima + momento de inercia

Hola, hice este ejercicio y quiero comprobar si esta bueno o malo, cualquier respuesta muchas gracias.

Coloca lo que has hecho para decirte si esta bueno o malo, que si lo hago puede que no sea de la forma en que lo has hecho.

[Jose D. Escobedo]

Re: Velocidad mínima + momento de inercia

Para resolver este problema $1^{ro}$ se tiene que tomar en cuenta que el movimiento angular se conserva ($\vec r \times m\vec v_o = -\hat k I \dot \phi$) y $2^{do}$ despues del contacto la energia se conserva $\frac{1}{2} I \dot \phi^2 = mgh$.

Con lo cual el resultado que me dio fue:

$\displaystyle v_o = \sqrt{\frac{8}{3} g L (\sqrt{2}-1)}$


Nota: en el momento del contacto hay perdida de energia cinetica, pero se conserva la cantidad de movimiento angular. Inmediatamente despues cambia de cualidad y como existe torque (momento de fuerza) la cantidad de movimiento angular ya no se conserva; pero la energia si (devido a que gravedad que ejerce el momento de fuerza es consevativa.)

Tambien se puede utilizar: $\vec r \times m \vec g = \hat k I \ddot \phi$ y el resutado sera el mismo. De cualquier forma como dijo mi compa$\tilde n$ero me gustaria ver tu procedimiento si esto fuera posible!!??

[liam_gallagher]

Re: Velocidad mínima + momento de inercia

Coloca lo que has hecho para decirte si esta bueno o malo, que si lo hago puede que no sea de la forma en que lo has hecho.

Bueno, no quise poner mi desarrollo mas bién por si habían otros caminos. Pero bueno no tengo el cuadernillo aca así te dejaría mas bien las principales ideas:

Evalué el torque en el instante del choque del cubo con el tope

$\begin{array}{lll}\vec T &=& \vec r \times \vec F <br /> \\<br /> \\<br /> \vec T &=& \dfrac{LMg}{2} \left(-\hat x + \hat y \right) \times \left( -\hat y \right) + \dfrac{LN}{2} \left(-\hat x + \hat y \right) \times \left( \hat y \right) <br /> \\<br /> \\<br /> \vec T &=& \dfrac{L}{2} \left(Mg - N\right) \hat z <br /> \end{array}$

Luego hago la normal 0 pues se ha despegado y lo igual a $I \ddot \phi \hat z$:

$\begin{array}{lll} I \ddot \phi &=& \dfrac{LMg}{2},<br /> \\<br /> \\<br /> \ddot \phi &=& \dfrac{LMg}{2I},<br /> \\<br /> \\<br /> \ddot \phi \dot \phi &=& \dfrac{LMg}{2I} \dot \phi, (1)<br /> \\<br /> \\<br /> \dfrac{{\left(\dot \phi \right)}^2}{2} &=& \dfrac{LMg}{2I} {\phi}_f, (2)<br /> \\<br /> \\<br /> \left(\dot \phi \right) &=& 2 \sqrt{\dfrac{LMg}{2I} {\phi}_f}. \end{array}$

Y desde ahí se obtendría la velocidad mínima inicial, porque del paso (1) a (2), consideré que la velocidad angular final era 0.


saludos, gracias por las respuestas.

[[Beto]]

Re: Velocidad mínima + momento de inercia

Bueno, no quise poner mi desarrollo mas bién por si habían otros caminos. Pero bueno no tengo el cuadernillo aca así te dejaría mas bien las principales ideas:

Hubieras avisado que lo ponías luego

Un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Velocidad mínima + momento de inercia

La expresion $\vec r \times m\vec g = \hat k I \ddot \phi$ se combierte en:

$\displaystyle \frac{L}{\sqrt{2}}( \hat i \cos \phi +\hat j \sin \phi) \times -\hat j mg = \hat k I \ddot \phi$
donde $\vec r$ es el radio-vector que va desde el punto de contacto hasta el cento gravedad de la figura. $\Rightarrow$

$\displaystyle -\frac{L}{\sqrt 2} mg \cos \phi \hat k = I \ddot \phi \hat k$

$\displaystyle \ddot \phi = -\frac{L}{\sqrt 2 I} mg \cos \phi \Rightarrow$

$\displaystyle \dot \phi \frac{d \dot \phi}{d \phi} = -\frac{L}{\sqrt 2 I} mg \cos \phi \Rightarrow$

$\displaystyle 0 - \frac{\dot \phi_o^2}{2} = -\frac{L}{\sqrt 2 I} mg(\sin\frac{\pi}{2} -\sin \frac{3 \pi}{4})$

$\displaystyle \dot \phi_o^2 = \frac{2 L}{\sqrt 2 I}mg (1 -\frac{1}{\sqrt 2})$

$\displaystyle \dot \phi_o^2 = \frac{L}{I} mg (\sqrt{2} -1)$...(1)

Ahora si se utiliza la consevacion de la energia $\Rightarrow$

$\displaystyle \frac{1}{2} I \dot \phi_o^2 = mg \frac{L}{\sqrt 2}(1-\cos\frac{\pi}{4}) \Rightarrow$

$\displaystyle \dot \phi_o^2 = 2mg \frac{L}{\sqrt 2 I} (\frac{\sqrt 2 -1}{\sqrt 2})$

$\displaystyle \dot \phi_o^2 = \frac{L}{I} mg (\sqrt 2 -1)$

Como se puede ver el resultado es el mismo.

Por otro lado en el post # 3 calcule tambien el momento de inercia $I$ y luego aplique la conservacion de momento angular para encontrar la relacion entre $\phi$ y $v_o$ lo cual finalmente me dio el resultado estipulado en dicho post.

[Jose D. Escobedo]

Re: Velocidad mínima + momento de inercia

Luego hago la normal 0 pues se ha despegado y lo igual a $I \ddot \phi \hat z$:

En primer lugar $N \not= 0$ porque si fuera asi que impediria la caida de este cubo. El momento de fuerza (o torque) si es igual a pero esto se deve a que $\vec r_N =0$ en $\vec r_N \times \vec N$. La normal y eje de rotacion se encuentran en el mismo espacio y como consecuencia la distancia entre ellos es cero. Entonces, el modulo es cero haciendo asi de este vector el vector cero.

[liam_gallagher]

Re: Velocidad mínima + momento de inercia

En primer lugar $N \not= 0$ porque si fuera asi que impediria la caida de este cubo. El momento de fuerza (o torque) si es igual a pero esto se deve a que $\vec r_N =0$ en $\vec r_N \times \vec N$. La normal y eje de rotacion se encuentran en el mismo espacio y como consecuencia la distancia entre ellos es cero. Entonces, el modulo es cero haciendo asi de este vector el vector cero.

Claro, por eso me di el lujo de hacer 0 la Normal, pues he puesto el origen en el tope y asi la única fuerza con vector posición de modulo distinto de cero sería la normal.

gracias por la ayuda, estaba bueno =D
saludos