1r ciclo fuerza conservativa

[China]

Hola, a ver si me podéis ayudar, con este prblema:
Partícula en movimiento en trayectoria circular sometida a una fuerza $F=-k\vec{r}$ piden que se demuestre que la fuerza es conservativa.
Lo que hago es que dado que la trayectoria es circular entiendo que $\vec{r}=(x\vec{i}, b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\vec{j})$ y pongo la fuerza en función de ese vector de posición y luego para probar que es conservativa se ha de cumplir:$\frac{\partial Fx}{\partial y}=\frac{\partial Fy}{\partial x}$ y la primera derivada parcial me da cero pero la segunda no, y sin embargo debe salir que si lo es.
Gracias

[IvanZ]

Hola! Si F es conservativa, entonces $\nabla\times F=0$. Tenemos $r=(x*i,y*j, C*k)$ ( C - constante).
$\nabla\times F=-k*(i*(\partial_y C-\partial_z y)+j(\partial_z x -\partial_x C)+k*(\partial_xy-\partial_yx))=0*i+0*j+0*k$

[Alriga]

El vector de posición, suponiendo el movimiento en el plano z=0 sin pérdida de generalidad:

$\vec r=x \hat i+y\hat j$

La fuerza:

$\vec F=-k \vec r$

$\vec F=F_x \hat i + F_y \hat j=-k x \hat i- k y \hat j$

$\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=0$

$\dfrac{\partial F_y}{\partial x}=0$

Por lo tanto

$\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=\dfrac{\partial F_y}{\partial x}$

Y el campo es conservativo independientemente de cual sea la trayectoria.

Saludos.

[China]

pero si y lo ponemos en función de X según la ec de la elipse no sale, no debería salir si lo concretamos a una trayectoria?

[Richard R Richard]

Hola, a ver si me podéis ayudar, con este prblema:
Partícula en movimiento en trayectoria circular sometida a una fuerza $F=-k\vec{r}$ piden que se demuestre que la fuerza es conservativa.

Que la trayectoria sea circular es un dato anecdótico y sin valor, en ese caso la aceleración que recibe en cada punto de la trayectoria es igual a la aceleracion centrípeta, para calcular dicha aceleración no tienes como dato a la masa, por eso no tiene nada que ver con la fuerza que es la que te escribe vectorialmente Alriga ,

$\vec F=F_x \hat i + F_y \hat j=-k x \hat i- k y \hat j$

sobre este vector es el que tienes que aplicar derivadas cruzadas,

la trayectoria es circular solo para una única velocidad inicial que no es dato en la cual se debe cumplir exactamente $|v|=|r|\sqrt{\dfrac km}$ y si es circular $|r|=a=b$

pero si y lo ponemos en función de X según la ec de la elipse no sale, no debería salir si lo concretamos a una trayectoria?
Gracias

la fuerza a la que es sometido, es independiente de la trayectoria , así que no es correcto seguirla o reemplazar valores

Si tu sueltas la partícula en $\vec r=(0,b)$ con velocidad $\vec v=\vec r \sqrt{\dfrac km}=(b\sqrt{\dfrac km},0)$ tendrás una trayectoria circular con $a=b=r$ pasarás por el punto $\vec r=(a,0)$ $\vec v=\vec r (-\sqrt{\dfrac km})=(0,-a\sqrt{\dfrac km})$ ...*

Si la velocidad inicial es mayor a eso entonces tienes una elipse donde $a>b$ y si es menor tienes otra elipse donde $a<b$ , pero a cada instante la fuerza apunta hacia el origen y no depende de la trayectoria ni de la velocidad inicial.
Que sea conservativa depende del tipo de función del campo vectorial o fuerza , y no depende de la trayectoria.

* el signo negativo sale de la resolución de una Ecuacion diferencial de segundo grado ya que la segunda ley de newton sobre cada eje te queda

$-kx=m\dfrac{\partial^2 x}{\partial t^2}$

$-ky=m\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}$

con condiciones de contorno a tiempo cero por ejemplo $\vec r_{(0)}=(0,b)$ y $\vec v_{(0)}=(V,0)$

si $V=b\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ entonces $a=b$ y tienes una trayectoria circular

la ecuación de x en función del tiempo es

$x(t)=a\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$

$y(t)=b\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$

donde si $a=b$ es la trayectoria correspondiente a una circunferencia parametrizada respecto del tiempo , para cualquier otra velocidad será una elipse.