orbitas de un planeta

[China]

Hola, necesito ayuda con este problema, no entiendo muy bien el enunciado:

a) ¿Cuál es la energía total que tendría un planeta de masa m situado a una distancia R del sol y con orbita circular?
b) Si la energía del planeta en esa posición es mayor que la encontrada en el apartado a), indique que posibles orbitas describiría y con qué energías. La distancia mínima de un cometa al sol se observa que es la ,mitad del radio de la orbita terrestre supuesta circular y su velocidad en ese punto es el doble que la velocidad orbital de la tierra.
c)¿Podrá escapar el cometa del sistema solar?¿por qué?
d)Halle su v cuando cruza la orbita terrestre y bajo que ángulo lo hace
Considerar masa del sol Ms y radio tierra R y que la masa de la tierra no influye en la trayectoria del planeta.

El apartado a. creo es sencillo y queda $Em=\frac{-GMm}{2r}$ pero el b no entiendo el enunciado

[Alriga]

Hola, necesito ayuda con este problema, no entiendo muy bien el enunciado:

El apartado a si no me equivoco es sencillo y queda $Em=-\frac{GMm}{2r}$
Pero el apartado b no lo entiendo
[I]a) ¿Cuál es la energía total que tendría un planeta de masa

Hola China, a veces suceden errores en el copia-pega del enunciado en los nuevos hilos, o errores en el momento de publicar. Por favor relee lo que publicas por primera vez a ver si hay errores, como en este caso en el que no se lee el enunciado completo del ejercicio.

Por favor, edita y completa el enunciado para que podamos entenderlo.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola China había escrito todo un mensaje muy largo y se me borró y no lo pude recuperar, aquí va mi segundo intento

EL punto a) está bien , si calculas la velocidad necesaria para órbita circular te queda $\dfrac{mv^2}{R_c}=\dfrac{mGM}{R_c^2} \quad\to\quad v=\sqrt{\dfrac{GM}{R_c}}$ si con esta velocidad reemplazas en la ecuación de la energía mecánica

$E_m=-\dfrac{GmM}{R_c}+\frac12mv^2=-\dfrac{GmM}{R_c}+\frac12m\dfrac{GM}{R_c}=-\dfrac{GmM}{2R_c}$ solo revisa el signo, la energía mecánica es negativa

b) Hay tras posibilidades de valores de energía mecánica de la órbita que sea mayor , menor o igual a cero.

Si es $E_m<0$ hay cuatro situaciones

• si $v=0$ entonces el planeta cae en línea recta hacia el sol
• si $v<v_{circ}$ entonces sigue una trayectoria elíptica, de la cual debes tener cuidado que el perihelio sea mayor a la suma de los radios del sol y el planeta para no se choquen.
• si $v=v_{circ}$ entonces tienes la trayectoria circular calculada en a)
• si $v>v_{circ}$ entonces tienes una trayectoria elíptica cada vez mas alargada hasta que la velocidad sea la de escape

Si $E_m=0$ justamente la velocidad del planeta es la de escape y la trayectoria es parabólica no cerrada

y si $E_m>0$ entonces la trayectoria es hiperbólica y nunca hará una trayectoria cerrada

luego el problema cambia o es otro añadido

La distancia mínima de un cometa al sol se observa que es la ,mitad del radio de la orbita terrestre supuesta circular y su velocidad en ese punto es el doble que la velocidad orbital de la tierra.
c)¿Podrá escapar el cometa del sistema solar?¿por qué?

Yo creo que la pregunta es esa , porque preguntar sobre el planeta...

Digamos que allí tienes que calcular la energía mecánica del cometa en el punto en cuestión si su velocidad es mayor o igual a la velocidad de escape entonces escapará.

Te dice que el perihelio del cometa es la mitad del radio en que la tierra gira circular $r_{p}=\dfrac12 R_c$

Si quieres calcular el radio de órbita circular lo sacas con la tercera ley de kepler

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}=Constante$ donde a sería el semieje mayor de la órbita en este caso el radio.

$\dfrac{T^2}{R_c^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ donde si usas el sistema internacional de unidades $T$ es un año escrito en segundos $365.25d/a\cdot84600s/d$

de allí despejas $R_c$ y calculas la mitad para saber cual es el perihelio $r_p$

Además te dice que la velocidad en el perihelio es 2 veces la de la tierra cuando órbita circular $v_p=2\cdot \sqrt{\dfrac{GM}{R_c}}$ que sacas de a)

también de ese punto sacas dos datos uno que la velocidad radial es nula por estar en el perihelio $v_r=0$.

En ese punto válido calcular el momento angular $L =m_c r_pv_p$

Así calculando el la energía de la órbita en ese punto

$E_m=\frac12m_cv_r^2+\dfrac{L^2}{2m_cr_p}-\dfrac{GMm_c}{r_p}$

reemplaza valores y te queda

$E_m=0+\frac12 m_c v_p^2 -\dfrac{GMm_c}{r_p}$

$E_m=\frac12 m_c 4\cdot \dfrac{GM}{R_c} -\dfrac{2GMm_c}{R_c}$

$E_m=0$ entonces la trayectoria es parabolica

$Em>0$ entonces si la energía mecánica es positiva la órbita es hiperbólica y el cometa escapará.

d)Halle su v cuando cruza la órbita terrestre y bajo qué ángulo lo hace

Veamos como hallar la velocidad primero

Como la energía mecánica se conserva, igualas la obtenida en el punto anterior, porque ya la calculaste, con la que puede tener al cruzar el radio de la órbita circular

$E_m=0=\dfrac12m V^2-\dfrac{Gm_cM}{R_c}$

de aquí $V=\sqrt{\dfrac{2GM}{R_c}}$ es la velocidad de escape

Para sacar el ángulo hay que recordar que el momento angular se conserva $L=m_cR_cV_{orb}=m_c r_pv_p$ que previamente te había hecho calcular

De allí tienes $V_{orb}$ sería la velocidad en la dirección tangencial o perpendicular a la radial

Así que el coseno del ángulo de cruce respeto de la dirección tangencial es $\cos \theta=\dfrac{V_{orb}}{V}$ con el arcocoseno calculas el ángulo.

Mientras que con $\sin\theta=\dfrac{V_{rad}}{V}$ puedes calcular la velocidad radial con que el cometa se aleja del sol.

Saludos

Pd corregido si haces cuenta $\cos\theta =\dfrac{1}{\sqrt2} \quad \to \quad \theta =45\°$

[China]

Muchas gracias Richard por el doble esfuerzo, que rabia da cuando se pierde algo..... sí efectivamente preguntan por el cometa, es que como no me acepto el copia pega lo escribí y metí la pata.. voy a verlo detenidamente. Pero una duda sobre el enunciado, el apartado b dice, si la energía en "esa posición.." a qué posición se refiere? a una supuesta que es la que analizas en ese apartado no? respecto al apartado c), el radio del cometa es la mitad que el de la tierra, por lo que en ese caso la energía sale 0 no?, es decir en ese punto el cometa tendría la velocidad de escape, y entonces no se cruzarían en el apartado d no?saludos

[Richard R Richard]

En b te dice que la energía para la órbita de la tierra resulta mayor a la de una órbita circular, entonces entre lo que te he puesto, verás que resulta desde elíptica hasta hiperbolica , según el valor de la energía.
Vi que encontraron un gazapo a medio camino ue afecta lo dicho luego, así que hay que corregir bastante. Ya lo verás arreglado en breve.

[Alriga]

Hola China, veo que has editado adecuadamente el enunciado. Para la resolución de este ejercicio puedes encontrar información relevante, tanto en el cuerpo como en los comentarios de Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

La distancia mínima de un cometa al sol se observa que es la mitad del radio de la orbita terrestre supuesta circular y su velocidad en ese punto es el doble que la velocidad orbital de la tierra.
c) ¿Podrá escapar el cometa del sistema solar?¿por qué?

Este apartado (c) se puede resolver de forma alternativa y rápida calculando la Energía orbital con los datos que nos dan para el perihelio del cometa. Recordar que la expresión general para la energía mecánica orbital es:

$E=\dfrac 12 m v^2-\dfrac{GMm}r$

Llamo $a_T$ al radio orbital de la Tierra suponiendo órbita circular. La velocidad de la Tierra es la que ha obtenido Richard en el apartado (a) aplicando la segunda ley de Newton y es:

$G\dfrac{M m}{a_T^2}=m \dfrac{v_T^2}{a_T}$

$v_T=\sqrt{\dfrac{GM}{a_T}}$

La velocidad del cometa en el perihelio nos la dice el enunciado: "es el doble que la velocidad orbital de la tierra"

$v_{CP}=2 \sqrt{\dfrac{GM}{a_T}}$

La energía mecánica en el perihelio:

$E=\dfrac 12 m \ 4\dfrac{GM}{a_T}-\dfrac{GMm}{\dfrac{a_T}2}$

Simplificando obtenemos:

$$\boldsymbol{E=0}$$

Y por lo tanto la órbita es parabólica y el cometa escapa del sistema solar.

Saludos.

[Alriga]

La distancia mínima de un cometa al sol se observa que es la mitad del radio de la orbita terrestre supuesta circular y su velocidad en ese punto es el doble que la velocidad orbital de la tierra.

d) Halle su v cuando cruza la orbita terrestre y bajo que ángulo lo hace

En el apartado anterior hemos obtenido que la Energía es nula y por lo tanto la órbita es parabólica. La energía orbital del cometa se conserva y cuando cruza la órbita de la Tierra vale:

$E=\dfrac 1 2 m v^2-\dfrac{GMm}{a_T}=0$

Obtenemos la velocidad:

$$\boldsymbol{v=\sqrt{\dfrac{2GM}{a_T}}}$$

La expresión del momento angular en general:

$L=r \ m\ v \ \sin \theta$

El momento angular en el perihelio, distancia $r=a_T/2$ velocidad $v=v_{CP}$ y $\theta = 90^{\circ}$ es:

$L=\dfrac{a_T}2 \ m \ 2 \sqrt{\dfrac{GM}{a_T}}$

Se sobreentiende que la órbita del cometa es coplanaria con la órbita de la Tierra. El momento angular al cruzar la órbita de la Tierra:

$L=a_T \ m \ \sqrt{\dfrac{2GM}{a_T}} \ \sin \theta$

El momento angular orbital se conserva, igualando ambas expresiones de $L$ y despejando:

$\sin \theta = \dfrac 1{\sqrt 2}$

$\theta = 45^{\circ}$

Ese es el ángulo que forma el vector velocidad con la línea radial que une el Sol con el cometa. Entiendo que el enunciado pide cuál es el ángulo $\phi$ que forma el vector velocidad del cometa con la tangente a la órbita de la Tierra en ese punto, por lo tanto:

$\phi=90^{\circ}-\theta$

$$\boldsymbol{\phi = 45^{\circ}}$$

Saludos.

[China]

Alriga, entendido gracias, lo único, el momento angular no es un producto vectorial, no seria seno?? creo que es cuestión de como se toma el ángulo entre r y v no?

[Alriga]

Buuff, qué lapsus me hago viejo, por supuesto que es seno y no coseno, ya lo he corregido.
Gracias y saludos.