Otras carreras Calculo semieje de orbita eliptica

[Richard R Richard]

En estos días volvió a la luz de nuevo El problema de los 3 cuerpos, estoy tratando de hacer un programa en PC para estudiarlo.pero primero quiero entender algo mas del de 2 cuerpos.

Basándome en lo leído en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Pregunto si todas las direcciones en que un objeto que tenga módulo de velocidad $v$ cuando esté a distancia $r$ del objeto masivo $M$ , producirán una trayectoria elíptica con el mismo tamaño de semieje mayor $a=\frac{1}{\dfrac{2}{r}-\dfrac{v^2}{GM}}$

Por qué lo pregunto?, porque en cambio si planteo la conservación de la energía mecánica (corregido) para el problema de valor inicial solo con velocidad radial $v$ el semieje mayor será la altura máxima alcanzada.

$-\dfrac{GmM}{r_{max}}=-\dfrac{GmM}{r_{0}}+\dfrac{mv^2}{2}$

de donde $r_{max}=\frac{1}{\dfrac{1}{r}-\dfrac{v^2}{2GM}}$ no veo por qué no llego al mismo resultado, hay un 2 que me desapareció.

por otro lado si la masa $m$ ya no es despreciable respecto de $M$ , entonces el movimiento de $M$ carga con parte de la energía cinetica, se que el el periodo de rotación por la tercera ley de kepler es

$\dfrac{T^2}{a^3} \ (M+m)=\dfrac{4\pi^2}{G}$

la pregunta es si tambien la masa gravitante en la ecuación de la energía es también $M+m$ ya que si bien $v$ es una velocidad relativa entre masas , tanto $M$ como $m$ giran alrededor del CM.

[Alriga]

...Basándome en lo leído en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Pregunto si todas las direcciones en que un objeto que tenga módulo de velocidad $v_0$ cuando esté a distancia $r_0$ del objeto masivo $M$, producirán una trayectoria elíptica con el mismo tamaño de semieje mayor

$a=\dfrac{1}{\dfrac{2}{r_0}-\dfrac{v_0^2}{GM}}$

Sí, a igualdad de módulos $r_0 \ , \ v_0$ todos los semiejes $a$ serán del mismo tamaño, el dado por esa expresión. Pero para cada pareja inicial de vectores $\vec r_0 \ , \ \vec v_0$ con ángulos entre la pareja diferentes, la dirección del eje mayor de la elipse y la excentricidad de la órbita elíptica serán diferentes.

...si planteo la conservación de la energía cinética para el problema de valor inicial solo con velocidad radial el semieje mayor será la altura máxima alcanzada.

$-\dfrac{GmM}{r_{max}}=-\dfrac{GmM}{r_{0}}+\dfrac{mv_0^2}{2}$

No le veo sentido a esa expresión. Parece que quieres igualar la energía mecánica de un punto real arbitrario de la órbita elíptica $r_0 \ , \ v_0$ con un hipotético punto de la órbita situado a un radio vector al que llamas $r_{max}$ y con velocidad $v=0$ Es decir, entiendo que tu ecuación es:

$-\dfrac{GmM}{r_{max}} + \dfrac{m \cdot 0^2}{2} =-\dfrac{GmM}{r_{0}}+\dfrac{mv_0^2}{2}$

Pero una órbita elíptica no tiene ningún punto de velocidad nula, luego a ese "$r_{max}$" que aparece en tu expresión no corresponde a ningún punto físico de la órbita elíptica.

Saludos.

[Alriga]

...En estos días volvió a la luz de nuevo El problema de los 3 cuerpos, estoy tratando de hacer un programa en PC para estudiarlo.pero primero quiero entender algo mas del de 2 cuerpos.

...si la masa $m$ ya no es despreciable respecto de $M$ , entonces el movimiento de $M$ carga con parte de la energía cinetica, se que el el periodo de rotación por la tercera ley de kepler es

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{\bold{G(M+m)}}$

Cuando $m$ es despreciable frente a $M$, en las ecuaciones sale siempre como parámetro gravitacional $\gamma = GM$

Pero cuando no es despreciable, el parámetro gravitacional que aplica a les ecuaciones es $\gamma = G(M+m)$ como puedes ver en 5. El problema de dos cuerpos (Matemático)

Saludos.

[Richard R Richard]

No le veo sentido a esa expresión. Parece que quieres igualar la energía mecánica de un punto real arbitrario de la órbita elíptica $r_0 \ , \ v_0$ con un hipotético punto de la órbita situado a un radio vector al que llamas $r_{max}$ y con velocidad $v=0$ Es decir, entiendo que tu ecuación es:

$-\dfrac{GmM}{r_{max}} + \dfrac{m \cdot 0^2}{2} =-\dfrac{GmM}{r_{0}}+\dfrac{mv_0^2}{2}$

Pero una órbita elíptica no tiene ningún punto de velocidad nula, luego a ese "$r_{max}$" que aparece en tu expresión no corresponde a ningún punto físico de la órbita elíptica.

Saludos.

Hola, desde ya muchas gracias, has comprendido bien lo que he supuesto, pero no comprendo porqué no es válido, de eso va el hilo, digamos que pasa cuando el semieje menor tiende a cero, que es lo que no estoy teniendo en cuenta.Tengo claro la conservación del momento angular, por lo que en una elipse no es cero. Pero si fuera cero, un lanzamiento exactamente vertical, porque no me coinciden los resultados?
voy a leer lo que aportaste haber si me doy cuenta. Anoche no hubo forma.

[Alriga]

...un lanzamiento exactamente vertical...

En una caída libre en línea recta partiendo del reposo (velocidad inicial nula) $v_0=0$, desde una distancia inicial $r_0$ medida desde el centro de M al centro de m, la conservación de la energía mecánica específica $\varepsilon$ nos dice:

$$\varepsilon =-\dfrac{GM}{r_0}=\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r$$

Si despejas la velocidad $v$ para cualquier punto de la recta de radio vector $r$ obtienes

$v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{r_0} \right )}$

¿Qué se ve en esa expresión?

• Que la distancia $r$ entre M y m, será siempre $r \leq r_0$, pues de lo contrario la raíz cuadrada sería de un número negativo, $r_0$ es la distancia máxima entre los cuerpos M y m.
• Que si M y m son puntuales, m chocará contra M cuando $r=0$ (distancia mínima entre M y m) a velocidad infinita.
• El movimiento no es elíptico, es un segmento de longitud $r_0$

Un segmento de longitud $r_0$ que une $M$ con $m$, podría asimilarse en determinadas circunstancias como el límite de una elipse de apoastro (distancia máxima de $M$ a $m$) $r_a=\boldsymbol{r_0}$ y periastro (distancia mínima de $M$ a $m$) $r_p=\boldsymbol 0$. El semieje mayor de una órbita elíptica es siempre la semisuma de apoastro y periastro:

$a=\dfrac{r_a+r_p}2$

Que en este caso especial, el semieje $a$ de la "elipse/segmento" saldría:

$a \sim \dfrac{r_0}2$

Si usas la expresión general de la energía específica de una órbita elíptica:

$\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}$

Aplicada al caso particular:

$a \sim \dfrac{r_0}2$

Obtienes:

$$\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{r_0}$$

Se ve que (1) coincide con (2). Recuerda que usamos esta particular asimilación de "límite de elipse a segmento" en el hilo Tamaño de los cielos en teogonía Hesíodo

Saludos.

[Alriga]

Análogamente al caso anterior, si inicialmente $m$ tiene una velocidad $v_0$ en dirección y el sentido $M \rightarrow m$, el objeto $m$ se aleja inicialmente en línea recta de $M$

La distancia máxima $r_M$ a la que se separará se obtiene de la conservación de la energía específica. Teniendo en cuenta que debe cumplirse $\varepsilon < 0$ para que $m$ no escape al infinito:

$$\varepsilon =\dfrac{v_0^2}2-\dfrac{GM}{r_0} = -\dfrac{GM}{r_M}$$

Y la distancia mínima será de nuevo cero, cuando $m$ invierta el movimiento, se dirija hacia $M$ y acabe chocando. Asimilando de nuevo el segmento de longitud $r_M$ con una elipse degenerada, el semieje mayor de ésta debe ser ahora la semisuma de $r_M$ y cero.

$a \sim \dfrac{r_M}2$

Si usas la expresión general de la energía específica de una órbita elíptica:

$\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}$

Se obtiene

$$\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{r_M}$$

Y de nuevo, (1) coincide con (2)

Saludos.

[Richard R Richard]

Ya está, era una cosa tan obvia , pero bueno, se me había puesto que el planeta M tenía que estar en el centro de la elipse y no en el foco...y bueno ...debe ser la edad...
Mil gracias