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Buenas noches:
Aprovechando la tranquilidad de una tarde de Jueves Santo me he puesto a curiosear los exámenes de las Olimpiadas de Física y me he encontrado con el siguiente problema:
La trayectoria más rápida de descenso de un objeto entre dos puntos bajo la acción de la gravedad recibe el nombre de braquistócrona. Se trata de un problema muy interesante cuyo estudio fue realizado por eminentes matemáticos a finales del siglo XVII como Johann y Jacobo Bernoulli, aunque hubo otros muchos como Leibniz, L’Hôpital o Newton ocupados en este tema. En la gráfica de abajo a la izquierda vemos tres posibles trayectorias diferentes para bajar desde el punto A hasta el punto B. Una formada por una simple rampa, otra por dos tramos rectos (con una esquina en forma de curva suave) y otra con una forma curva más compleja. Esta última trayectoria es la braquistócrona, la que resulta más rápida para descender desde el punto A hasta el B bajo la acción de la gravedad, pasando incluso por una región que está más abajo que el punto de destino, como se observa en la figura. La solución del problema es bastante compleja y aquí vamos a plantear un caso mucho más sencillo, con una trayectoria formada simplemente por dos tramos rectilíneos, tal y como se muestra en la figura de abajo a la derecha. Se trata de descender desde el punto A, situado a una altura H, hasta el punto B, a una distancia L de la vertical del punto de partida, utilizando solo dos tramos rectos. El primero es una rampa inclinada un ángulo α y el segundo un recorrido completamente horizontal. De esta forma, durante la bajada desde A el objeto gana velocidad por acción de la gravedad para llegar lo más pronto posible al final del recorrido, al punto B. Se desea saber cuál es el ángulo óptimo de la rampa para alcanzar el destino en el menor tiempo posible y mostrar que existe un valor mínimo de L para que la solución tenga efectivamente un tramo horizontal. En todos los cálculos despreciaremos el rozamiento.
Me ha parecido súper interesante, pero no he encontrado ninguna propuesta de resolución por Internet. Por ello, a continuación propongo una solución que, si fuese posible, me gustaría que le echéis un vistazo. La idea es hallar un ángulo tal que el tiempo necesario para ir desde A hasta B sea mínimo. Para ello, determinemos el tiempo que emplea la partícula en descender desde el punto A hasta el punto B.
donde es el tiempo que tarda en descender por el plano inclinado y el tiempo que tarda en recorrer la distancia entre la base del plano inclinado hasta llegar a B.
En este desarrollo omitiré la deducción de las relaciones más triviales:
I. La aceleración a la que está sometida la partícula en el descenso por el plano inclinado es la siguiente: .
II. La velocidad con la que la partícula llega a la base del plano inclinado es la siguiente: .
Llamemos a la base del plano inclinado. La distancia que recorre la partícula en el tramo 1 será:
pero por el teorema de Pitágoras, puede escribirse
Por tanto:
Obtengamos el valor de considerando que la partícula desarrolla un MRU ante la ausencia de rozamiento con la superficie horizontal. Por tanto:
Por tanto, el tiempo total será:
Para minimizar el tiempo, derivemos con respecto a –parámetro que puede relacionarse con el ángulo del plano inclinado–.
NOTA. Resuelvo con porque si introduzco razones trigonométricas las derivadas se complican...
El –presunto– mínimo se obtiene igualando a cero la primera derivada:
Con un poco de paciencia, la única solución que se obtiene con sentido físico es la siguiente:
Obviamente habría que calcular la segunda derivada para asegurar que se trata de un mínimo, pero tomemos este valor para finalizar el problema. Finalmente, el ángulo que hace mínimo el parámetro es el siguiente:
Hasta aquí el problema. ¿Qué os parece? Se agradece cualquier sugerencia o comentario.
Aprovechando la tranquilidad de una tarde de Jueves Santo me he puesto a curiosear los exámenes de las Olimpiadas de Física y me he encontrado con el siguiente problema:
La trayectoria más rápida de descenso de un objeto entre dos puntos bajo la acción de la gravedad recibe el nombre de braquistócrona. Se trata de un problema muy interesante cuyo estudio fue realizado por eminentes matemáticos a finales del siglo XVII como Johann y Jacobo Bernoulli, aunque hubo otros muchos como Leibniz, L’Hôpital o Newton ocupados en este tema. En la gráfica de abajo a la izquierda vemos tres posibles trayectorias diferentes para bajar desde el punto A hasta el punto B. Una formada por una simple rampa, otra por dos tramos rectos (con una esquina en forma de curva suave) y otra con una forma curva más compleja. Esta última trayectoria es la braquistócrona, la que resulta más rápida para descender desde el punto A hasta el B bajo la acción de la gravedad, pasando incluso por una región que está más abajo que el punto de destino, como se observa en la figura. La solución del problema es bastante compleja y aquí vamos a plantear un caso mucho más sencillo, con una trayectoria formada simplemente por dos tramos rectilíneos, tal y como se muestra en la figura de abajo a la derecha. Se trata de descender desde el punto A, situado a una altura H, hasta el punto B, a una distancia L de la vertical del punto de partida, utilizando solo dos tramos rectos. El primero es una rampa inclinada un ángulo α y el segundo un recorrido completamente horizontal. De esta forma, durante la bajada desde A el objeto gana velocidad por acción de la gravedad para llegar lo más pronto posible al final del recorrido, al punto B. Se desea saber cuál es el ángulo óptimo de la rampa para alcanzar el destino en el menor tiempo posible y mostrar que existe un valor mínimo de L para que la solución tenga efectivamente un tramo horizontal. En todos los cálculos despreciaremos el rozamiento.
Me ha parecido súper interesante, pero no he encontrado ninguna propuesta de resolución por Internet. Por ello, a continuación propongo una solución que, si fuese posible, me gustaría que le echéis un vistazo. La idea es hallar un ángulo tal que el tiempo necesario para ir desde A hasta B sea mínimo. Para ello, determinemos el tiempo que emplea la partícula en descender desde el punto A hasta el punto B.
donde es el tiempo que tarda en descender por el plano inclinado y el tiempo que tarda en recorrer la distancia entre la base del plano inclinado hasta llegar a B.
En este desarrollo omitiré la deducción de las relaciones más triviales:
I. La aceleración a la que está sometida la partícula en el descenso por el plano inclinado es la siguiente: .
II. La velocidad con la que la partícula llega a la base del plano inclinado es la siguiente: .
Llamemos a la base del plano inclinado. La distancia que recorre la partícula en el tramo 1 será:
pero por el teorema de Pitágoras, puede escribirse
Por tanto:
Obtengamos el valor de considerando que la partícula desarrolla un MRU ante la ausencia de rozamiento con la superficie horizontal. Por tanto:
Por tanto, el tiempo total será:
Para minimizar el tiempo, derivemos con respecto a –parámetro que puede relacionarse con el ángulo del plano inclinado–.
NOTA. Resuelvo con porque si introduzco razones trigonométricas las derivadas se complican...
El –presunto– mínimo se obtiene igualando a cero la primera derivada:
Con un poco de paciencia, la única solución que se obtiene con sentido físico es la siguiente:
Obviamente habría que calcular la segunda derivada para asegurar que se trata de un mínimo, pero tomemos este valor para finalizar el problema. Finalmente, el ángulo que hace mínimo el parámetro es el siguiente:
Hasta aquí el problema. ¿Qué os parece? Se agradece cualquier sugerencia o comentario.
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