Variación de magnitudes si disminuye la constante de gravitación universal

[China]

Hola, necesito ayuda con este problema:

La constante G disminuye uniforme y lentamente con el tiempo, si nos fijamos en un satélite de masa m que orbita circularmente al rededor de la tierra, encuentra la expresión y razona como varían las siguientes magnitudes del satélite a medida que G disminuye:
a) El momento angular
b)el radio de la órbita
c)la fuerza gravitatoria
d)la velocidad de traslación del satélite
e)su periodo de rotación
f)la energía mecánica del sistema

Lo que hago es hallar la expresión de la velocidad $F_g=F_c$ y $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ y aquí ya empieza mi duda, la velocidad disminuye con G si el radio es constante, y del mismo modo disminuiría el momento angular, pero cuando pregunta por el radio?? ahí me quedo trabada.

[Richard R Richard]

Hola, necesito ayuda con este problema:

La constante G disminuye uniforme y lentamente con el tiempo, si nos fijamos en un satélite de masa m que orbita circularmente al rededor de la tierra, encuentra la expresión y razona como varían las siguientes magnitudes del satélite a medida que G disminuye:
a) El momento angular
b)el radio de la órbita
c)la fuerza gravitatoria
d)la velocidad de traslación del satélite
e)su periodo de rotación
f)la energía mecánica del sistema

Lo que hago es hallar la expresión de la velocidad $F_g=F_c$ y $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ y aquí ya empieza mi duda, la velocidad disminuye con G si el radio es constante, y del mismo modo disminuiría el momento angular, pero cuando pregunta por el radio?? ahí me quedo trabada.

Hola, el momento angular es un parámetro cinemático propio del satélite respecto de un punto del espacio, no depende de la constante gravitacional, por lo tanto no variará.
el radio de la orbita circular como el momento angular $L=mrv$ se conserva, pero la fuerza disminuye , el equilibrio se logra a mayor radio y velocidad menor .

del equilibrio de fuerzas

$\dfrac{GMm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}=m\dfrac{L^2}{m^2r^3}$

de dónde llegas a $\dfrac{K}{G}=r$ con $K$ una constante compuesta de otras constantes, así si $G$ cae $r$ aumenta

pero $L$ es constante y $L=mrv$ si la masa del satélite es constante y el radio aumenta entonces cae la velocidad.

obviamente la fuerza gravitatoria cae porque es directamente proporcional a la constante gravitacional.

el periodo lo puedes analizar con la tercera ley de Kepler

$\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$

$T^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{GM}=\dfrac{4\pi^2(\frac{K}{G})^3}{GM}=\dfrac{K_2}{G^4}$

$T=\dfrac{K_3}{G^2}$

evidentemente si $G$ cae el periodo $T$ aumenta CORREGIDO gracias Alriga.

Como la energía mecánica inicial es menor que cero dominada por el potencial gravitatorio negativo y si $G$ disminuye tendiendo a cero el potencial gravitatorio entonces aumenta, y la energía mecánica aumenta.

[carroza]

Hola.

Estoy de acuerdo con Richard en que el momento angular debe conservarse. Al fin y al cabo, la conservación del momento angular proviene de una isotropía del espacio, y esta no se ve modificada por que la constante de la gravedad varíe.

No obstante, yo considararía tambiém que, como la constante de gravitación se hace variar muy lentamente, entoces la energía también debiera conservarse. Esto no es trivial, ya que la conservación de la simetría probiene de la invariancia, del lagrangiano, frente al tiempo. Entiendo que si G se hace variar muuy lentamente con el tiempo, la energia se debe conservar, con muuy buena precisión.

Combinar estas dos cosas, conservación de momento angular y conservacion de la energía, creo que hace que la trayectoria inicial esférica, se convierta en elíptica, y te complica el problema.

Saludos

[Alriga]

Estoy de acuerdo en todo con Richard, excepto aquí, en donde se le ha colado un gazapo al despejar:

...el periodo lo puedes analizar con la tercera ley de Kepler

$\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$

$\cancel{T^2=\dfrac{4\pi^2}{GMr^3}}$

...evidentemente si $G$ cae el periodo $T$ cae proporcionalmente....

Obviamente, la expresión correcta es:

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM} \, r^3$

Como el radio orbital aumenta y la constante de gravitación universal disminuye, el período orbital $T$ aumenta.

...Como la energía mecánica inicial es menor que cero dominada por el potencial gravitatorio negativo y si $G$ disminuye tendiendo a cero el potencial gravitatorio entonces aumenta, y la energía mecánica aumenta.

Yo también lo veo así. La energía mecánica $E$ de una órbita circular es.

$E=-\dfrac{GMm}{2r}$

Como $G$ va disminuyendo y $r$ aumentando con el tiempo, $E$ se va haciendo "cada vez menos negativa" (sigue una secuencia temporal por ejemplo, del tipo -1, -0.9, -0.8, -0.7,...) La energía mecánica va aumentando, puesto que $-0.7 > -1$


Saludos.

[carroza]

A ver, creo que el problema tiene más miga de lo que parece. Si la gravedad cambia con el tiempo, por muy lentamente que lo haga, ya no tenemos conservación de la energía mecánica. Ya no es cierto que la fuerza gravitatoria sea el gradiente de un potencial, y, sobre todo, ya no podemos decir que hay un potencial gravitatorio que es $V(r) = - {G M m \over r}$, ya que esta expresión surge con la convención arbitraria de que $V(r)$ se hace cero cuando $r \to \infty$.

Hacer bien este problema, a mi juicio, requiere partir de una fuerza gravitatoria, radial, $F(r, t) = - {G(t) M m \over r^2}$ , y calcular el trabajo de dicha fuerza entre la situación inicial y final. Este trabajo sería igual al cambio de la energía cinética. Os doy una pista oculta, por si quereis divertiros con el problema

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Partimos de la propiedad de las trayectorias circulares: Estas son trayectorias estables, de forma que tienen la minima energía para un momento angular L dado, y su radio es
$r = {L^2 \over GM m^2}$

Ahora, si variamos G muy lentamente, haciendolo G(t), entonces esperamos que las trayectorias sigan siendo circulares, con un radio r(t) que cumple
$r(t) = {L^2 \over G(t)M m^2}$. Muy lentamente quiere decir que el tiempo caracteristico de variacion de G(t) es muy superior al periodo de revolucion del satelite.

Si G(t) se hace más pequeño, r(t) se hace más grande. En la sitiacion inicial, tenemos $r_0, G_0$ que cumplen $r_0 G_0 ={L^2 \over M m^2}$. En la sitiacion inicial, tenemos $r_f, G_f$ que cumplen $r_f G_f ={L^2 \over M m^2}$. En cualquier situacion intermedia,
tenemos $r, G$ que cumplen $r G ={L^2 \over M m^2}$. En cualquier situacion intermedia,

Podemos evaluar el trabajo de la Fuerza gravitatoria

$W = \int_{r_0}^{r_f} - {G M m \over r^2} dr$. Esto se resuelve analiticamente y nos da el cambio de energia cinética, y a partir de el, el cambio de velocidad

Completandolo,

$W = \int_{r_0}^{r_f} - {L^2 \over m r^3} dr = {L^2 \over 2 m r_f^2} - {L^2 \over 2 m r_i^2}$.

Este trabajo de la fuerza gravitatoria variable es igual al cambio de la energía cinética. Inicialmente, la energía cinética era
$K_i = 1/2 m v_i^2 ={L^2 \over 2 m r_i^2}$.

Al final, la energía cinética es
$K_f = 1/2 m v_f^2 ={L^2 \over 2 m r_f^2}$.

Un saludo

[Richard R Richard]

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Podemos evaluar el trabajo de la Fuerza gravitatoria

$W = \int_{r_0}^{r_f} - {G M m \over r^2} dr$. Esto se resuelve analiticamente y nos da el cambio de energía cinética, y a partir de el, el cambio de velocidad

Hola

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Estoy tentado a suponer que $r=r_{(t)}$ , $G=G_{(t)}$ y $dr=v_{r(t)}dt$
y transformar esto a

$W = \dst\int\limits_{0}^{T} - {G_{(t)} M m \over r_{(t)}^2} v_{r(t)}dt$

Pero si $G_{0}>G_{T}$ resultará $W>0 \quad to \quad \Delta E_m= W$

Saludos

[carroza]

Hola. He completado la derivación en el post anterior.

A mi me sale que, si la constante de gravitación se reduce (muy lentamente), el radio de las orbitas circulares aumenta, y la energía cinética disminuye. Eso es consistente con el hecho de que el trabajo de la fuerza gravitatoria es negativo: La fuerza gravitatoria va hacia adentro, pero el desplazamiento radial va hacia fuera.

La imagen que uno tiene es que, al reducirse la constante de gravitación, muy lentamente, las trayectorias circulares se conviernten en unas espirales, en las que el radio va aummentando gradualmente, adaptandose a un nuevo equilibrio en el que la fuerza gracitatoria se compensa con una fuerza centrífuga.


Un saludo