1r ciclo Péndulo y masa acoplados

[Visitante]

Hola! Este problema no termina de cerrarme, no sé si estoy planteándolo bien. Datos: m, M, g, L, K, l0.

Es un péndulo acoplado a una masa que también oscila. Lo planteé pensando en el péndulo como un SNI. Así tengo:
$\sum F_mx=-K\psi_m+Tsin\phi=m\ddot\psi_m$
Entonces la fuerza ficticia sobre el péndulo sería $F=-M(-\frac{K}{m }\psi_m+\frac{T}{m }sin\phi)\hat{\imath}$
Por lo tanto:
$\sum F_{M\theta}=-Mgsin\phi-sin\phi M (-\frac{K}{m }\psi_m+\frac{T}{m }sin\phi)=ML\ddot\phi$
$\sum F_{Mr}=-T-Mgcos\phi-cos\phi M (-\frac{K}{m }\psi_m+\frac{T}{m }sin\phi)=-ML{\dot\phi}^{2 }$

Me piden hallar los modos normales del sistema considerando que éste realiza pequeñas oscilaciones.
Entonces, sabiendo que $sin\phi L=x$, para pequeñas oscilaciones tengo $sin\phi\approx\phi$; $\phi L\approx x$ y $cos\phi\approx 1$; $\phi L\approx x\Rightarrow \dot\phi L\approx \dot x\Rightarrow L{\dot\phi}^{2 }\approx \dot x\dot\phi = \frac{{\dot x}^{2 }}{L }$

Reescribiendo las ecuaciones obtengo

$-\frac{Mg}{L }\psi_M-\psi_M \frac{M}{L } (-\frac{K}{m }\psi_m+\frac{T}{mL }\psi_M)=M\ddot\psi_M$

$-T-Mg-M (-\frac{K}{m }\psi_m+\frac{T}{mL }\psi_M)=-\frac{M}{L }{\dot{\psi}_M}^{2 }$

$-K\psi_m+\frac{T}{L }\psi_M=m\ddot\psi_m$

Hasta acá llegué, la verdad no sé si está bien ni cómo seguir. Pensé en eliminar los términos de segundo orden, es decir, aquellos en los que me quede ${\psi_M}^{2 }$ o $\psi_M \psi_m$ por ser oscilaciones pequeñas...pero de esa forma se me desacoplan los movimientos en la ecuación de M y no me convence.

También pensé en plantear la ecuación de movimiento para el péndulo con las aproximaciones, considerando así que se mueve en x. Quedaría: $-\frac{g}{L }\psi_M=\ddot\psi_M$ y agregar directamente la fuerza ficticia de tal forma que queda $-\frac{g}{L }\psi_M-(-\frac{K}{m }\psi_m+\frac{T}{mL }\psi_M)=\ddot\psi_M$. De esa forma no estaría descomponiéndola como hice antes y quedaría algo mas trabajable.
La tensión no sé si tengo que despejarla usando conservación de la energía en la ecuación de $\hat{r}$ o si puedo aproximarla directamente a $Mg$ por ser oscilaciones pequeñas. Si tengo en cuenta éstas últimas dos cosas el problema se reduce a trabajar con:

$-\frac{g}{L }\psi_M-(-\frac{K}{m }\psi_m+\frac{Mg}{mL }\psi_M)=\ddot\psi_M$

$-\frac{K}{m }\psi_m+\frac{Mg}{mL }\psi_M=\ddot\psi_m$

Que se ven muy lindas y sencillas, pero no se si estarán bien después de meter tanta mano, jaja.

Bueno, cualquier consejo viene bien. Saludos!!

[Richard R Richard]

Re: Péndulo y masa acoplados

Creo que te piden algo mas sencillo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/os...dos.html#Modos normales de vibración


es decir a que frecuencias se producen eso acoples, tu haz resuelto todas las ecuaciones de la dinamica, y agroso modo no le vi errores.

saludos

[Visitante]

Re: Péndulo y masa acoplados

Claro, el tema es que para averiguar las frecuencias naturales necesito plantear el determinante de la matriz asociada a las ecuaciones. Lo que no sé es si trabajar con las últimas dos...es decir, si están bien las aproximaciones que hice. Las primeras deberían de estar bien porque no están aproximadas...pero al usar phi.L~x me quedan términos cuadráticos con los que no sé trabajar.

Edit: me explico mejor...necesito encontrar los autovalores de la matriz asociada. Perdón si no se entiende nada. Estoy re quemado...jaja.

[felmon38]

Re: Péndulo y masa acoplados

Hola, lo siento pero no entiendo de donde salen tus ecuaciones. Para mí, siendo T la tensión del hilo y aislando m:

$T.sen\varphi-k.x=m.\ddot{x}$ (1)

Aislando M:

$T-M.g.cos\varphi=M{\dot\varphi}^{ 2}.L-M.\ddot{x}.sen\varphi$ (2)

$M.g.sen\varphi=M.\ddot{\varphi}.L+M.\ddot{x}.cos\varphi$ (3)

Eliminando T de estas tres ecuaciones, te salen dos ecuaciones diferenciales de segundo orden (s.e.u.o)

Saludos

[Visitante]

Re: Péndulo y masa acoplados

[FONT=Times][FONT=Times]Gracias por la ayuda. Claro, a esas tres ecuaciones llegué (las tres primeras que puse). Las aproximaciones que siguieron fueron para expresar los términos en función de phi como términos en función de psi (osea, en función de x). Me acabo de dar cuenta que descompuse mal la fuerza ficticia...así que no quedan términos cuadráticos. Me quedaria expresar la tensión en función de los datos usando esa aproximación o despejándola de las ecuaciones...pero no estaría viendo cómo.

Según tengo entendido deberia de llegar a un sistema que pueda expresar como $M\vec{\psi}=\lambda\vec{\psi}$ siendo $\lambda=-\omega^2$
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[felmon38]

Re: Péndulo y masa acoplados

Bueno, el sistema deberïa ser lineal, al menos para pequeños desplazamientos y el que he sacado no lo parece a no ser que restrinjas también la solución para el caso en que se puedan despreciar los términos cuadráticos. (Todo esto suponiendo que están bien las ecuaciones).
Saludos