1r ciclo Mecánica racional: Balística

[propanotriol]

Buenas,

El enunciado dice así:

Una bala de masa $\dst m$ es lanzada desde el suelo con una velocidad inicial $v_0$ con un ángulo de $60$ grados con la horizontal. Deseamos que la bala supere dos muros de una misma altura $\dst h$. Calcula la distancia máxima d que puede separar ambos muros. La resistencia del aire es despreciable.

El problema lo tengo en la resolución analítica. La respuesta debería ser la siguiente:

$\dst d = \frac{v_0}{2g}\sqrt{3v_0^2-8gh}$

Una distancia evidentemente positiva. Yo al resolver el ejercicio, me encuentro con la misma distancia en valor absoluto, pero de signo negativo. Y he repetido varias veces el ejercicio.

Saltándome el desarrollo inicial y yendo a las ecuaciones de los movimientos según el eje vertical y horizontal. Tengo que:

$\dst z(t) = sin(60)v_0t-\frac{1}{2}gt^2$
$\dst x(t) = cos(60)v_0t$

Así que mi razonamiento es el siguiente:
1) Determinamos el tiempo necesario para que la bala alcance una altura h según la vertical.

$\dst t_{1} = \frac{\sqrt{3v_0^2-8gh}+v_0\sqrt{3}}{2g}$

2) Con ese tiempo, calculo el desplazamiento horizontal. Lo que nos da la posición del primer muro:

$\dst x_1 = \frac{v_0(\sqrt{3v_0^2-8gh}+v_0\sqrt{3})}{4g}$

3) Determinamos el instante en que el objeto se encuentra en la posición $\dst x_1+d$ (la posición del segundo muro en función de d la distancia que los separa) usando la ecuación del movimiento horizontal.

$\dst t_2 = \frac{x_1+d}{cos(60)v_0}$

Resolviendo, con $\dst z(t_2) = h$ en función de d encuentro una distancia negativa.

He repetido varias veces el ejercicio y con la Ti-nspire para ver que no me equivocaba en los desarrollos, pero no veo de donde podría proceder el error.

¿Estoy fallando en el razonamiento? o ¿es un error analítico?.

Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Mecánica racional: Balística

Hola propanotriol, fijate que cuando resuelves la ecuacion cuadratica para calcular el tiempo para alcanzar la altura $h$ usas

$t=\dfrac {-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{ 2a}$

donde $a ,b$ y $c$ te quedan en funcion de $v_o,g$ y $h$

con esta formula sacas directamente $t_1$ y $t_2$

luego $d=v_o\cos 60\°(t_1-t_2)$

siendo $t_1>t_2$ pues a priori no intersa como has elegido los subindices

[propanotriol]

Re: Mecánica racional: Balística

Vaya, no me había fijado en que tenemos los dos instantes en que z(t) = h. Gracias RRR.

Pero aun así, mi razonamiento, no estaría mal, ¿no? pese a ser más indirecto.

[Richard R Richard]

Re: Mecánica racional: Balística

Con tu método no sabes a priori si la bala estará en $x_2=x_1\pm |d|$ pues solo una se corresponde con $z(x_2,t_2)=h$o haciendo $z(t_1\pm\Delta t)=h$
Con prueba y error llegas al resultado pero lo otro es mas directo

[propanotriol]

Re: Mecánica racional: Balística

De nuevo, muchas gracias RRR