Secundaria Gravitación newtoniana y objeto a distancia de una esfera

[simple]

Tomo como base una esfera con densidad uniforme igual a la densidad media del universo, $\delta_m \simeq 1,91.10^{-26} \ \tfrac{Kg}{m^3}$. El objeto que me interesa tiene masa m . Busco el radio R donde la energía potencial del objeto sumada con $m .C^2$ da cero: $V + m.C^2=0$ . En el planteo uso la fórmula de Newton de la gravedad. ¿Por qué el resultado es $R \simeq 1,382 \cdot 10^{10}$ años luz , distancia que recorrería la luz en un tiempo igual a la edad atribuida al universo? ¿Es casualidad?

[Richard R Richard]

Tomo como base una esfera con densidad uniforme igual a la densidad media del universo, $\delta_m \simeq 1,91.10^{-26} \ \tfrac{Kg}{m^3}$. El objeto que me interesa tiene masa m . Busco el radio R donde la energía potencial del objeto sumada con $m .C^2$ da cero: $V + m.C^2=0$ . En el planteo uso la fórmula de Newton de la gravedad. ¿Por qué el resultado es $R \simeq 1,382 \cdot 10^{10}$ años luz , distancia que recorrería la luz en un tiempo igual a la edad atribuida al universo? ¿Es casualidad?

Tomemos una densidad uniforme

$<br /> \rho = 1.91\times 10^{-26}\,\mathrm{kg\,m^{-3}}.<br />$

La masa contenida en una esfera de radio $R$ es

$<br /> M=\dfrac{4}{3}\pi R^3\rho.<br />$

La energía potencial gravitatoria de una masa de prueba $m$ situada en la superficie es

$<br /> V=-\dfrac{GMm}{R}.<br />$

Imponiendo

$<br /> V+mc^2=0,<br />$

obtenemos

$<br /> -\dfrac{GMm}{R}+mc^2=0.<br />$

Simplificando por $m$,

$<br /> \dfrac{GM}{R}=c^2.<br />$

Sustituyendo la expresión de $M$,

$<br /> G\dfrac{\dfrac{4}{3}\pi R^3\rho}{R}=c^2,<br />$

$<br /> \dfrac{4}{3}\pi G\rho\,R^2=c^2,<br />$

$<br /> R=\sqrt{\dfrac{3c^2}{4\pi G\rho}}.<br />$

Usando

$<br /> \rho=1.91\times10^{-26}\,\mathrm{kg\,m^{-3}},<br />$

$<br /> G=6.674\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}},<br />$

$<br /> c=2.998\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}},<br />$

se obtiene

$<br /> R\simeq1.31\times10^{26}\,\mathrm{m}.<br />$

Como

$<br /> 1\,\mathrm{a.l.}=9.461\times10^{15}\,\mathrm{m},<br />$

resulta

$<br /> R\simeq1.38\times10^{10}\,\mathrm{a.l.}<br />$

es decir, aproximadamente $13.8$ mil millones de años luz.

La explicación de esta coincidencia es que la densidad utilizada es aproximadamente la densidad crítica del universo,

$<br /> \rho_c=\dfrac{3H_0^2}{8\pi G},<br />$

donde $H_0$ es la constante de Hubble.

Sustituyendo $\rho=\rho_c$ en la expresión de $R$,

$<br /> R=<br /> \sqrt{<br /> \dfrac{3c^2}{4\pi G}<br /> \dfrac{8\pi G}{3H_0^2}<br /> },<br />$

$<br /> R=<br /> \sqrt{\dfrac{2c^2}{H_0^2}},<br />$

$<br /> R=\sqrt{2}\,\dfrac{c}{H_0}.<br />$

Por lo tanto,

$<br /> R\approx1.414\,\dfrac{c}{H_0}.<br />$

Como $c/H_0$ es el radio de Hubble,

$<br /> \dfrac{c}{H_0}\approx 14\times10^9\,\mathrm{a.l.},<br />$

se obtiene naturalmente un valor del mismo orden que la distancia recorrida por la luz durante la edad del universo.

Además, como

$<br /> t_0 \approx \dfrac{1}{H_0},<br />$

donde $t_0$ es la edad del universo, se tiene

$<br /> \dfrac{c}{H_0}\approx c\,t_0,<br />$

y por ello el radio calculado resulta cercano a la distancia que la luz recorre en un tiempo igual a la edad del universo.

El resultado no significa que hayas descubierto una nueva relación física; surge porque la densidad media del universo está ajustada por la dinámica cosmológica de tal forma que la escala natural asociada a ella es $c/H_0$, y la edad del universo es aproximadamente $1/H_0$

[simple]

Gracias Richard. Antes de ir al tema un detalle. Todas las fórmulas en LaTex , en vez de las fórmulas aparece este mensaje de error: [Error LaTeX: Comando fallido svgo] , tanto en tu respuesta como en mi pregunta. Voy al tema:

Ahora entiendo que es casualidad. En la manera que lo planteé no interviene la constante de Hubble. Simplemente tomé como masa de la esfera su volumen para el radio R multiplicado por la densidad uniforme, que tomé igual a la densidad media atribuida al universo en la cosmología anterior a la hiperinflación y anterior al telescopio Hubble, que era $\delta_m = 1,91.10^{-26} \ \tfrac{Kg}{m^3}$. En esa forma no necesité poner de antemano el valor de la masa de la esfera y apliqué la fórmula de Newton para la energía potencial. Y la condición $V + m.C^2=0$ condujo al resultado $R = 1,382 \cdot 10^{10} \ anos \ luz$ , que coincide con el radio atribuido al universo antes de la hiperinflación. Dado que la constante de Hubble no interviene me pareció que ese valor de R es casualidad pura, aunque yo no había impuesto solamente la condición $V + m.C^2=0$ sin otras hipótesis. Esa condición, según creo entender, corresponde a lo siguiente. Cualquier cosa situada a distancia R del centro de la esfera tiene energía neta igual a cero. Entonces aunque abandone la esfera lo hace sin robar energía de la esfera. Significa que una esfera de ese radio puede automantenerse estable en medio del vacío. Por eso me pareció una pena que fuese casualidad, porque esa estabilidad automantenida me gustó. Saludos.