Secundaria Gravitación

[pilimafiqui]

Un satélite artificial terrestre de 2400 Kg sigue una órbita circular a 1200Km de altura. Calcula:
a) Energía mecánica y energía cinética del satélite.
b) Velocidad orbital del satélite.
c)Velocidad que tuvimos que comunicarle en la superficie de la Tierra para colocarlo en órbita.
d)Velocidad que tuvimos que comunicarle en la superficie de la Tierra para subirlo a esa altura.
e) Velocidad de escape
Radio de la Tierra= 6400Km y g=9,8m/s^2
Sol: Ec=6,3. 10^10J , Em= -6,3 .10^10J. b) V= 7247,8 m/s c) V=8506m/s d)4448,8 m/s e) V= 7248m/s
Yo hice el a) aplicando la formula de energía mecánica y me dio el resultado y para la energía cinetica igulé la Fc=Fg y bien .
El b) Ec= 1/2 m . v^2 y obtuve V07.266,3 m/s
c)Ep Tierra + Ec Tierra = Em arriba = -6,3 10^10 y obtuve una V= 8540 m/s
e) Em=0
Em= Ec órbita + Ec escape +Ep y al operar V = 7268 m/s
Todo esto creo que esta bien pero el d) intenté calcularlo con V^2 = Vo^2 - 2 . 9,8 . h considerando h= 12ooKm, g= 9,8 m/s^2 y V= la orbital.
Agradecería cualquier ayuda.

[The Higgs Particle]

Re: Gravitación

Todo esto creo que esta bien pero el d) intenté calcularlo con V^2 = Vo^2 - 2 . 9,8 . h considerando h= 12ooKm, g= 9,8 m/s^2 y V= la orbital

Estás utilizando la fórmula para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, pero $g$ no es constante con la altura. Como sabes, $9.8 (m/s^2)$ es una aproximación de su valor en la superficie terrestre.

Si quieres hacerlo por cinemática es un poco más complejo. Tendrías que integrar $v \dd v = a(x) \dd x$, donde $a$ es esto.
Además, te pide la velocidad para llevarlo a esa altura, no para llevarlo a esa altura y, además, darle la velocidad orbital. Esto suele hacerse en dos fases: subir primero el satélite y dar impulso después. Es decir, si lo vas a hacer por cinemática, $v_{final} = 0$.

Por todo ello, lo mejor es hacerlo por energías:

$E_m(superficie) = E_m(h)$

Por lo que:

$\dst - \frac{GMm}{R_T} + \frac{1}{2}mv^2 = - \frac{GMm}{R_T+h}$

Y de ahí despejas la velocidad

[Richard R Richard]

Re: Gravitación

a)$E_m=E_c+E_p$

$E_c=\dfrac 12 m v^2$

$E_p= -\dfrac {mM_TG}{R_T+h}$

b) se mantiene en orbita mientras su fuerza centripeta es igual a fuerza que provoca la gravedad a esa altura

$m \dfrac{v^2}{R_T+h}=m\dfrac {GM_T}{(R_T+h)^2}$

$v_{orb}=\sqrt{\dfrac {GM_T}{R_T+h}}<br />$

c) siendo mas tiquismiquis , aqui hay que saber cual es la velocidad de tangencial de rotacion en la superficie donde fue lanzado....

si supones que fue lanzado en el ecuador

$\dfrac 12mV_r^2-\dfrac{mGM}{R_T}+\dfrac 12m(\Delta v_1)^2= \dfrac 12mv_{orb}^2-\dfrac{mGM}{R_T+h}$

donde $V_r=\dfrac{2\pi R_T}{T}$ con $T=24h$

d) el calculo aqui seria igual pero debes considerar que no tiene la suficiente velocidad para mantenerse en orbita por lo que vuelve a caer, luego de llegar al menos por un instante a la altura de la orbita.


$\dfrac 12mV_r^2-\dfrac{mGM}{R_T}+\dfrac 12m(\Delta v_2)^2= -\dfrac{mGM}{R_T+h}$

e) la velocidad de escape para el satelite surge de igualar la energia cinetica a la potencial ...

$\dfrac 12 mv_e^2-\dfrac{GM_T}{R_T}=0$

$v_e=\sqrt{\dfrac{GM_T}{R_T}}$

[pilimafiqui]

Re: Gravitación

Contestando a The Higgs ... en la energía mecánica no falta un 2 en el denominador?

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Hola Richard.
La verdad es que no entiendo tu planteamiento del apartado c y d.
En cuanto a la velocidad de escape en la energìa potencial : G . M . m/ R creo que falta una masa y que el radio no es el de la Tierra

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Hola The Higgs.
Revisando lo que me pusiste eso es lo que hice para el apartado c)

[The Higgs Particle]

Re: Gravitación

Contestando a The Higgs ... en la energía mecánica no falta un 2 en el denominador?

No, no falta. He aplicado la conservación de la energía mecánica ya que no hay fuerzas externas ni no conservativas: $W_{total} = W_{conservativa} \to \Delta E_k = - \Delta U \to \Delta E_k + \Delta U = 0 \to \Delta E_m = 0$

No sé si lo decías porque, en una órbita se cumple que: $E_m = \dst \frac{1}{2}U_{orbital} = \frac{1}{2} \left( \frac{-GMm}{r} \right)$

Hola Richard.
La verdad es que no entiendo tu planteamiento del apartado c y d.
En cuanto a la velocidad de escape en la energìa potencial : G . M . m/ R creo que falta una masa y que el radio no es el de la Tierra

c) Si el nivel que te piden para este ejercicio es de secundaria, puedes omitir el término que lleva $V_r$, que hace referencia a la rotación de la Tierra (que completa una vuelta en 24 h, de ahí lo de $T = 24 (h)$). Así, quedaría, conservando la notación de Richard:

$\dst \frac{-GMm}{R_T} + \frac{1}{2}m(\Delta v_1)^2 = \frac{1}{2}mv_{orb}^2 - \frac{GMm}{R_T+h}$

En este apartado te están diciendo que no sólo lo suben hasta la altura de la órbita, sino que lo colocan en ella, todo de un tirón - esto es, darle la velocidad orbital -. Richard ha aplicado la conservación de la energía mecánica.


d) Este es como te lo he explicado (de nuevo, prescindiendo de $V_r$ y sabiendo que mi $v$ equivale al $\Delta v_2$ de Richard):

$\dst \frac{-GMm}{R_T} + \frac{1}{2}m \Delta (v_2)^2 = \frac{-GMm}{R_T+h}$

e) En efecto, le falta (o sobra) un factor $m$, seguro que error de edición. En cuanto al radio... depende desde dónde salgas. Richard ha tomado la velocidad necesaria para suministrarle a un cuerpo de masa $m$ desde la superficie de la Tierra, mientras que tú lo interpretaste como la velocidad necesaria a dicho cuerpo estando ya en la órbita.

Hola The Higgs.
Revisando lo que me pusiste eso es lo que hice para el apartado c)

Bueno, como ya te he comentado, es que en el c) no lo estabas haciendo bien, puesto que con "colocarlo en órbita" se referían a darle, del tirón, la velocidad necesaria para subir y orbitar. Espero que ahora quede más claro

[Richard R Richard]

Re: Gravitación

En cuanto a la velocidad de escape en la energìa potencial : G . M . m/ R creo que falta una masa y que el radio no es el de la Tierra

corrijo el error

e) la velocidad de escape para el satélite surge de igualar la energía cinetica a la potencial ... (igualar energías mecánicas)

$\dfrac 12 mv_e^2-\dfrac{mGM_T}{R_T}=0$

$v_e=\sqrt{\dfrac{2GM_T}{R_T}}$

La velocidad de escape se mide con respecto a la tierra, si tu lo que quieres es la velocidad que tiene que alcanzar el satélite a esa altura para escapar de la atracción gravitatoria terrestre, es otra cosa que creo no te estan pidiendo , pero me animo a escribirla para que veas la diferencia

la velocidad debe ser la necesaria para hacer nula la diferencia entre energía mecánicas entre el estado inicial y el final, el estado final es el satélite en el infinito con velocidad nula.

$\dfrac 12 mv_{e2}^2-\dfrac{mGM_T}{R_T+h}=0$

como veras $v_{e2}$ es inferior a la $v_e$ que ya has calculado antes lo cual es lógico pues ya has ganado altura y te sera mas fácil escapar el campo gravitatorio terrestre.

por lo que la velocidad que debes imprimirle al satélite para escapar es $\Delta v_{escape}=v_{e2}-v_{orb}$

[pilimafiqui]

Re: Gravitación

Gracias Richard ahora lo entiendo pero al final si no considero esa velocidad de rotación de la Tierra el apartado c) queda como lo hice yo.

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Otra duda:
Si quiero calcular la velocidad de escape cuando està en la òrbita circular tengo que considerar también la velocidad de la órbita, es decir:
1/2 . m . V^2 (velocidd orbital) + 1/2 . m. V^2 (velocidad de escape) + energía potencial a esa altura = 0

[Richard R Richard]

Re: Gravitación

Si quiero calcular la velocidad de escape cuando està en la òrbita circular tengo que considerar también la velocidad de la órbita, es decir:
1/2 . m . V^2 (velocidd orbital) + 1/2 . m. V^2 (velocidad de escape) + energía potencial a esa altura = 0

no es así exactamente

la velocidad de escape sale de consideraciones energéticas pero de la siguiente manera, la energía cinetica total que adquiere el satélite para escapar debe ser igual a lo que aumenta la energía potencial hasta hacerce nula en el infinito.

es decir

$\dfrac 12 mv_{e2}^2-\dfrac{mGM_T}{R_T+h}=0$

y como te escribí antes

la velocidad que hay que agregarle al satélite para que escape a esa altura es $\Delta v_{escape_2}=v_{e2}-v_{orb}$

o míralo de este modo

$\sqrt{\dfrac{2GM_T}{R_T+h}}=\Delta v_{escape_2}+v_{orb}=v_{e2}$

mientras $v_{orb}<v_{e2}$ el satélite se mantiene en orbita eliptica(y si es igual a la fuerza centripeta a esa altura describe una circunferencia), cuando iguala $v=v_{e2}$la trayectoria es una parabola y cuando la excede una hiperbola...