Otras carreras Cuerpo que gira

[cristianoceli]

Hola necesito ayuda para resolver este ejercicio que ni siquiera he podido plantear


Un cuerpo gira con aceleración angular constante $\alpha$ y suscribiendo un círculo de radio $R$. En el instante $t_1$ el vector aceleración forma un ángulo de $\phi$ con el vector posición, en otro instante $t_2$ dichos vectores forman un ángulo de $\beta$.
Considere los valores: $\alpha = 3 \pi (rad/s^2)$ ; $R = 0,4 (m)$; $\phi = 100\°$;$\beta= 170\°$ y determine el tiempo transcurrido entre $t_1$ y $t_2$.

De antemano muchas gracias

[Richard R Richard]

Re: Cuerpo que gira

a cada instante la aceleración tangencial es constante pues la aceleración angular es constante

$a_t=\alpha R$

pero para ir describiendo una circunferencia la aceleración radial debe ser igual a la centrípeta

$a_r=\omega^2R=\alpha^2t^2R$

el modulo de la aceleración sera entonces

$|a|=\sqrt{a_r^2+a_t^2}=\alpha R\sqrt{\alpha^2 t^4+1}$

como la dirección de la posición esta en dirección radial y aceleración se puede calcular en cada punto de la trayectoria, pues tenemos el angulo entre esta y la dirección radial

$$\sin \phi=\dfrac{\alpha R} {\alpha R\sqrt{\alpha^2 t_1^4+1}}$$

$$\sin \beta=\dfrac{\alpha R} {\alpha R\sqrt{\alpha^2 t_2^4+1}}$$

de 1 y 2 despeja $t_1$ y $t_2$ respectivamente

luego $\Delta t=t_2-t_1$

[Al2000]

Re: Cuerpo que gira

OT --> cristianoceli, para introducir el símbolo de grados (°) en una ecuación, precédelo con una diagonal invertida (\°)

Al moverse desde un punto al otro, tendrás que la velocidad angular cambió de $\omega_1$ hasta $\omega_2$: $\omega_2 = \omega_1 + \alpha (t_2-t_1) \quad \Rightarrow \quad \Delta t = (\omega_2-\omega_1)/\alpha$.

Pero dado un ángulo $\theta$ cualquiera que forme la aceleración con el radiovector, se tiene que $\dst \tan \theta = \frac {a_T}{a_N} = \frac {\alpha R}{\omega ^2 R} = \frac \alpha {\omega ^2} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt {\alpha {\cot \theta }}$.

Poniendo las dos cosas juntas, te queda que $\dst \Delta t = \frac {\sqrt {\alpha \cot \beta }-\sqrt {\alpha \cot \phi }} \alpha = \frac {\sqrt {\cot \beta } - \sqrt {\cot \phi }}{\sqrt \alpha }$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

- - - Actualizado - - -

Perdón, cuando hice el esquema tomé el ángulo entre la aceleración y el radio, en lugar del radiovector. Habría que cambiar $\theta$ por $\pi - \theta$, sorry.

[cristianoceli]

Re: Cuerpo que gira

Muchas gracias a ambos (corregiré el símbolo de grados (°) )

Saludos.