1r ciclo Sistema acoplado

[The Higgs Particle]

Cuando tenemos dos masas unidas por un muelle, el sistema oscila con una frecuencia angular de $\omega = \dst \sqrt{ \frac{k}{\mu} }$, donde $\mu$ es la masa reducida. Si ahora tenemos tres masas iguales unidas entre sí por tres muelles iguales, de forma que los dos muelles de los laterales están sujetos a la pared, y desplazamos la primera masa una distancia $x_1$; a la segunda, $x_2$ y a la tercera, $x_3$, ¿cuál sería en este caso la frecuencia angular?

Las ecuaciones son, entonces.
a) Masa 1:

$ma_1 = -kx_1+k(x_2-x_1)$

b) Masa 2:

$ma_2= k(x_3-x_2)-k(x_2-x_1)$

c) Masa 3:

$ma_3 = -k_3-k(x_3-x_2)$

No tengo muy claro qué hacer ahora, porque cuando son dos masas, podemos restar las dos ecuaciones de la aceleración para calcular la neta, pero teniendo tres ecuaciones no sé cómo hacerlo.

[felmon38]

Re: Sistema acoplado

Que yo sepa, si se trata de dos masas, tienes dos frecuencias naturales y la solución es un combinación lineal de dos movimientos vibratorios con dichas frecuencias naturales. En el caso de 3 masas, serán tres frecuencias naturales y la solucion la puedes obtener al resolver el sistema de las tres ecuaciones diferenciales que has puesto.
Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Sistema acoplado

Que yo sepa, si se trata de dos masas, tienes dos frecuencias naturales y la solución es un combinación lineal de dos movimientos vibratorios con dichas frecuencias naturales. En el caso de 3 masas, serán tres frecuencias naturales y la solucion la puedes obtener al resolver el sistema de las tres ecuaciones diferenciales que has puesto

La verdad es que no he entendido mucho, porque de frecuencias naturales sólo me han hablado, y muy por encima, en oscilaciones amortiguadas. Por otra parte, no sabemos resolver ecuaciones diferenciales. Por ello, en el caso de dos masas, por ejemplo, nos lo resolvieron así:

$\dst \frac{-k}{\mu} (x_2-x_1) = \frac{\dd^2 (x_2-x_1)}{\dd t^2}$

lo que supone que es un MAS, siendo, por ello, $\omega^2 = \dst \frac{k}{\mu}$


Por eso decía que en este caso no sabría cómo hacer la resta de las aceleraciones

[felmon38]

Re: Sistema acoplado

Para resolver este problema de manera natural, hay que haber estudiado antes la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como ejemplo, para resolver un sistema de, por ejemplo, dos ecuaciones lineales con dos incógnitas hay que utilizar el Álgebra y olvidarse de la Aritmética para este caso.
Saludos y paciencia.