1r ciclo Calcular la velocidad de dos bolas que interactúan mutuamente

[Agtj]

Tengo el siguiente problema:

Dos bolas, de masas m y 2m, y de radio R, están inicialmente en reposo y sus centros se encuentran a una distancia D. En un instante determinado se sueltan, y se atraen mutuamente debido al campo gravitatorio., describiendo una trayectoria rectilínea. Determinar sus velocidades en el instante en el que colisionan.

He intentado resolver el problema por la conservación de la energía mecánica. Como inicialmente la velocidad es nula, la energía mecánica de cada bola sería simplemente
$E = - \frac{G2m^{2}}{D }$
y la energía final de la bola de masa m sería

$E =\frac{1}{2 }mv^{2} - \frac{G2m^{2}}{2R }$

Pero, igualando ambos resultados, no obtengo el resultado correcto de v... Se supone que, para una de las bolas, $v = \dst \sqrt{\frac{8}{3 }Gm(\frac{1}{ 2R}-\frac{1}{ D})}$ y para la otra $v = \dst \sqrt{\frac{2}{3 }Gm(\frac{1}{ 2R}-\frac{1}{ D})}$

Me gustaría saber en qué falla mi planteamiento y cómo podría resolver el problema... Muchísimas gracias.

[Al2000]

Re: Calcular la velocidad de dos bolas que interactúan mutuamente

El mismo hecho de que tengas la respuesta como dos velocidades diferentes, una para cada bola, te debería señalar en dónde está tu error. Te pregunto, en tu última ecuación, la energía mecánica al colisionar, ¿qué diablos es $v$?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. No deberías escribir $G2mm$ eso es contrario a todas las reglas de notación matemática. Pon $2 Gmm$ o $G \cdot 2m \cdot m$, o mejor aún $2 G m^2$. Al fin y al cabo la audiencia que te lee sabe multiplicar $m \times m$.

[Agtj]

Re: Calcular la velocidad de dos bolas que interactúan mutuamente

Muchas gracias y perdón por la notación, ahora mismo corregiré el mensaje inicial.

Entiendo que hay dos resultados diferentes porque una de las bolas tiene una masa m, y la otra tiene una masa 2m. Y lo había tenido en cuenta, de ahí que sólo escribiera la energía final para la bola de masa m (indicándolo en el propio mensaje). Pero, siendo más explícitos, la energía justo antes del choque para la bola de masa m es:

$\dst E_{1} =\frac{1}{2 }mv_{1}^{2} - \frac{2Gm^{2}}{2R }$, y la energía mecánica justo antes del choque para la bola de masa 2m sería:

$\dst E_{2} =mv_{2}^{2} - \frac{2Gm^{2}}{2R }$

(donde $v_{1}, v_{2}$ son las velocidades de las bolas de masa m y 2m respectivamente, justo antes del colisionar).

[Al2000]

Re: Calcular la velocidad de dos bolas que interactúan mutuamente

Oye, no puedes "asignar" la energía potencial a un cuerpo... la energía potencial es una propiedad del sistema. Lo que tienes que pillar es que cada cuerpo se mueve a una velocidad diferente y al momento del choque, la energía mecánica será

$$E = \frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 (2m) v_2^2 - \frac {2 G m^2}{2 R}$$

Al igualar a la energía mecánica inicial tendrás una ecuación y dos incógnitas. Usa el principio de conservación del momentum lineal para resolver ambas velocidades.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Agtj]

Re: Calcular la velocidad de dos bolas que interactúan mutuamente

Muchas gracias por tu ayuda, se me había pasado por completo tenerlo en cuenta. Ahora sí lo entiendo, gracias.