Otras carreras Sistema masa-resorte en caída libre

[laura_fer]

Hola!

Llevo varios días dándole vueltas al planteamiento de las ecuaciones de movimiento de un problema, y me gustaría comentároslo por si alguien pudiera echarme una mano.

El problema trata de una masa sostenida por dos resortes verticales. Este sistema se encuentra además en el interior de una caja. Si se deja que caiga desde una altura cualquiera, la masa del interior experimenta un movimiento hacia arriba debido a la caída libre de la caja (similar a la situación que se tiene cuando un ascensor comienza a descender) y, como consecuencia, el centro de masas del sistema se desplazaría y no coincidiría ni con el centro de gravedad de la caja vacía ni con el de la masa agarrada por los dos resortes.

Objetivo: tengo que hallar la aceleración máxima de la masa m₂ (la que está en el interior de la caja) desde el momento en el que se deja caer la caja a una altura cualquiera, hasta que impacta con el suelo y rebota.

Para comenzar, os dejo el planteamiento que he realizado sobre los sistemas de referencia:

m1: masa de la caja vacía
m2: masa del interior de la caja

Este planteamiento trata de dos partes:

- En la primera (1) se tiene que analizar cómo varía el centro de masas del sistema completo. Para ello he considerado que cae la caja vacía con la acción en sus extremos de las fuerzas F1 y F2, que corresponden a la acción de los resortes y la masa del interior.
La variable H sigue un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado donde a=g (en este caso se ha utilizado la dirección descendente como positiva).
H=1/2 · g · t²


- En (2) he despejado la aceleración de la masa m2 de la Segunda Ley de Newton de este sistema:

[FONT=fixed]\frac{d[/FONT]²[FONT=fixed]x}{dt[/FONT]²[FONT=fixed]}[/FONT]= \frac{k}{m_2}· (L - 2x) - g ,

sabiendo que cuando la caja se deja caer, m2 asciende (en este caso he considerado el movimiento de la masa hacia arriba como positivo).


Espero haber acertado tras decir que la posición del centro de masas del sistema completo, "Y" en la figura, es:

Y = [FONT=fixed]\frac{m₁·(\frac{L}{2}+H) + m₂·(x+H)}{m₁+m₂}[/FONT]
Donde x y H dependen del tiempo transcurrido.

Ya que la posición del centro de masas de la caja vacía está en L/2+H (donde L/2 es constante) y la del sistema masa-resortes está en x+H (aquí ninguna componente es constante para cada momento).

Además,en (1) por la Segunda Ley de Newton:

(m₁+m₂)·[FONT=fixed]\frac{d²y}{dt²} = F₁ - F₂ + m₁·g ,
[/FONT]
[FONT=fixed]Aquí la aceleración del centro de masas va a ser siempre 'g' en la caída libre, de esta ecuación podría despejar la componente 'x' (presente en F1 y F2). No obstante, x es variable, entonces no entiendo muy bien a donde me llevaría la deducción de esta última ecuación.


[/FONT]

Interrogantes que me han surgido:

¿La masa m₂ durante la caída permanece siempre en el mismo punto de la caja y cuando impacta contra el suelo es cuando se mueve (hacia abajo)? Entonces tendría que estudiar la aceleración en el momento en el que se deja caer del reposo (t=0 m₂ asciende) y la aceleración de m₂ tras el impacto (donde se situaría en la parte inferior de la caja).

Tengo un lío de deducciones, no sé si alguna ecuación sería redundante o si se me han escapado otras. Ahora mismo no sabría cómo encajar las ecuaciones que he comentado.


Agradezco cualquier aportación y corrección.

Gracias de antemano.

[felmon38]

Re: Sistema masa-resorte en caída libre

¿La masa m₂ durante la caída permanece siempre en el mismo punto de la caja y cuando impacta contra el suelo es cuando se mueve (hacia abajo)?

En el enunciado ya te indican que la masa interior tiene un movimiento hacia arriba (se sobreentiende que es respecto de la caja), así que no permanece en un punto de la caja. Creo que debes aplicar la ecuación fundamental de la dinámica a la caja (las fuerzas que actúan son m₁g, f₁ y f₂) y a la masa interior (m₂g, -f₁y -f₂), haciendo a x e y las ordenadas de la caja y del bloque respecto del Suelo. Los alargamientos de los resortes los puedes poner en función de x e y ¿? (no se ve el archivo). Así que te sale un sistema no homogéneo de 2 ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de coeficientes costantes. Estos coeficientes los puedes calcular en función de las condiciones iniciales. Cuando choca la caja, las ecuaciones diferenciales son las mismas y varían las condiciones iniciales correspondientes al instante del choque.(Bueno, ahora será x=0)
Saludos

[laura_fer]

Re: Sistema masa-resorte en caída libre

Muchas gracias por responderme.

He planteado las ecuaciones siguiendo tus indicaciones, si te he entendido bien ¿te refieres a que haga esto?





Las condiciones iniciales respecto a la posición de m1 y m2, serían las mismas, ¿no? En este caso lo he llamado H1.

[felmon38]

Re: Sistema masa-resorte en caída libre

Creo que está bien planteado salvo x₁(0)=x₂(0), ya que en el instante inicial los resortes deben equilibrar al peso de 2
Saludos