Otras carreras velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

[antoniopardo]

[FONT=&amp]pregunta de test
.- Un satélite se mueve sujeto a una fuerza central dirigida hacia el centro de la [/FONT]

[FONT=&amp]Tierra (R Tierra = 6370 Km). Fue impulsado por cohetes que lo abandonaron en su [/FONT]
[FONT=&amp]órbita a una altitud de 400 Km del planeta y con una velocidad de 18.820 Km/h [/FONT]
[FONT=&amp]paralela a la superficie de la Tierra. La velocidad del satélite, en dicha órbita, [/FONT]
[FONT=&amp]cuando alcanza su máxima altitud de 5240 Km es de: [/FONT]
[FONT=&amp]A) 10.974 Km/h [/FONT]
[FONT=&amp]B) 36.000 Km/h [/FONT]
[FONT=&amp]C) 1.437 Km/h [/FONT]
[FONT=&amp]D) 1.962 Km/h
Creo que se hace con la formula de la velocidad orbital, pero creo que no es una orbita circular sino eliptica
[/FONT]

[Alriga]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

¿Están bien los datos del problema?

Lo digo porque para 400 km de altura, r=6770000 m la velocidad de la órbita circular es

$v=\sqrt{\dfrac{G \ M}{r}}=\sqrt{\dfrac{\notcien{6.6741}{-11} \ \notcien{6}{24}}{6770000}}=7691 \ m/s$

La velocidad que dice el enunciado que se le ha dado al satélite a esa altura es

18820 km/h = 5228 m/s

Como la velocidad es menor que la circular, yo entiendo que a partir de ese momento el satélite empezará a caer, es decir que la máxima altura de la elipse que describa es precisamente 400 km y por lo tanto nunca alcanzará la altura de 5240 km (r = 11610000 m) que dice el enunciado.

¿¿¿???

Saludos.

[Take It Easy]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

- - - Actualizado - - -

Como la velocidad es menor que la circular, yo entiendo que a partir de ese momento el satélite empezará a caer, es decir que la máxima altura de la elipse que describa es precisamente 400 km y por lo tanto nunca alcanzará la altura de 5240 km que dice el enunciado.

Claro, lo que no cuadra es lo de " ...una velocidad de 18.820 Km/h
paralela a la superficie de la Tierra...". Quizás si tuviera otra dirección, sí que podría subir más. Entonces por conservación de momento angular:
$v_2=\frac {r_1}{r_2}v_1$

Pero eso sólo sería válido si cuando está a 400km, estuviera en el perihelio de su órbita porque en ese momento el ángulo entre r y v sería de 90º y se puede expresar el momento angular por m·r·v. La respuesta sería la A.

[arivasm]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

A veces los profesores escribimos este tipo de ejercicios sin pensarlos demasiado. Está claro que la intención del colega era que se aplicase un cálculo de conservación del momento angular, pero no ha evaluado si los datos eran consistentes. Por cierto, con que se suprimiese la referencia a la Tierra y se dijese "un planeta" el ejercicio sí sería correcto.

El enunciado simplemente es incorrecto, como ha bien ha evidenciado Alriga. Las dos leyes que hay que combinar, para saber si el enunciado es factible o no son la conservación de la energía mecánica y la del momento angular. Como se trata de dos puntos en los que la velocidad es perpendicular al radiovector del satélite desde el centro de la Tierra, por una parte se cumplirá que $r_1v_1 = r_2v_2$, por la conservación del momento angular. Al meter en danza la conservación de la energía $\frac{1}{2}v_1^2-G \frac{M_T}{r_1} = \frac{1}{2}v_2^2-G \frac{M_T}{r_2}$, despejando $v_2$ en la primera expresión y substituyendo en la segunda encontramos la ecuación de segundo grado

$\dst \left(2 G \frac{M_T}{r_1} - v_1^2 \right) r_2^2 - 2GM_T r_2 + v_1^2r_1^2=0$

Como una de sus soluciones será $r_2=r_1$ aplicando Rufini encontramos que la ecuación equivale a

$\dst \left(2 G \frac{M_T}{r_1} - v_1^2 \right) r_2 - v_1^2r_1=0$

luego

$\dst r_2 = r_1\frac{v_1^2}{2 G \frac{M_T}{r_1}-v_1^2} = r_1 \frac{v_1^2 r_1}{2GM_T-v_1^2 r_1}$

Haciendo números con los datos del problema, $r_1=\notcien{6,67}{6}\rm m$, $v_1=\notcien{5,2278}{3}\rm m/s$ y $GM_T=g_{sup}R_T^2=\notcien{3,9765}{14}\rm m^3/s^2$, la facción final vale

$\dst \frac{v_1^2 r_1}{2GM_T-v_1^2 r_1} = 0,2974$

lo que significa que, como bien señaló Alriga, el satélite ya parte de su apogeo y que el punto para el que pide el cálculo el enunciado no sólo sería un perigeo sino que además estaría a una distancia del centro de la Tierra $r_2=0,2974 r_1=2013\,\rm km$. En otras palabras: simplemente acabará por estrellarse contra el planeta.

En definitiva, la respuesta correcta es "ninguna de ellas" o mejor "ese planeta no es la Tierra"

[Alriga]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

Claro, lo que no cuadra es lo de " ...una velocidad de 18.820 Km/h paralela a la superficie de la Tierra...". Quizás si tuviera otra dirección, sí que podría subir más. Entonces por conservación de momento angular:

$v_2=\dfrac {r_1}{r_2}v_1$

Observa que si no te dicen "paralela a la superficie de la Tierra" no podrías resolver el problema tal como lo haces, puesto que no podrías aplicar

$\dfrac{L_1}m=r_1 \cdot v_1$

Sino que deberías aplicar

$\dfrac{L_1}m=r_1 \cdot v_1 \cdot \sin \theta$

Si no te dicen lo de "paralela a la superficie de la Tierra", el ángulo $\theta$ sería otra incógnita del problema.

La solución impecable es la del post de arivasm.

… A veces los profesores escribimos este tipo de ejercicios sin pensarlos demasiado. Está claro que la intención del colega era que se aplicase un cálculo de conservación del momento angular, pero no ha evaluado si los datos eran consistentes …

La verdad es que inmediatamente después de escribir mi post, ya pensé en ti, en que cuando vieses el ejercicio lo añadirías a tu colección de “enunciados manifiestamente mejorables”

... el punto para el que pide el cálculo el enunciado ... estaría a una distancia del centro de la Tierra $r_2=0,2974 r_1=1980\,\rm km$ ...

Por si lo quieres corregir, aquí has cometido un error de tecleo en la calculadora:

$r_2=0,2974 r_1=0.2974 \cdot 6770 =2013\,\rm km$

…Por cierto, con que se suprimiese la referencia a la Tierra y se dijese "un planeta" el ejercicio sí sería correcto …

En efecto, cambiando las 3 veces que aparece en el enunciado la palabra “Tierra” por la palabra “planeta”, es un sencillo ejercicio de conservación del momento angular como había intuido inmediatamente Take It Easy

Saludos.

[antoniopardo]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

Quería saber si es correcta mi conclusión si él satélite es abandonado a una altura de 400 km y una velocidad de 18820 km/h el satélite acabaría cayendo sobre el planeta que no es la tierra pero si en lugar de abandonarlo con estos datos estuviera en una órbita elíptica con estos datos entonces sí que se cumpliría la conservación del momento angular es decir que no se abandona sino que ya se encuentra en esa posición y con esa velocidad dentro de una órbita elíptica

[Alriga]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

Si el planeta es la Tierra, el satélite se estampa sin ninguna duda, como apunté yo y ha demostrado arivasm.

Si el planeta es otro planeta indeterminado, del mismo radio que la Tierra (6370 km), y de masa desconocida, (aunque debería ser seguro mucho menor que la de la Tierra), el satélite podría hipotéticamente remontarse hasta los 5240 km de altura, pues al no saber su masa no podemos afirmar que no se cumple la conservación de la energía.

Entonces el ejercicio, ante la ausencia de otros datos, se resuelve de manera trivial mediante la conservación del momento cinético del satélite, como ha apuntado Take It Easy con:

$r_1 \cdot \cancel{m} \ v_1=r_2 \cdot \cancel{m} \ v_2$

Saludos.

[antoniopardo]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

Gracias por la aclaración

- - - Actualizado - - -

Me podéis confirmar mi conclusión:Creo que ya lo tengo claro ,si se trata de la tierra al tener una masa mi grande atrae al satélite chocando contra la tierra.
En cambio si se tratase de un planeta con menos masa se podría dar el caso de que le atrajera menos pudiendo no chocar contra el planeta y en ese caso se generaría una órbita elíptica que cumpliría la conservación del momento angular

- - - Actualizado - - -

Se me ha olvidado añadir que lógicamente siempre q no supere la velocidad de escape pues en ese caso abandonaría la órbita elíptica

[Richard R Richard]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

Me podéis confirmar mi conclusión:Creo que ya lo tengo claro ,si se trata de la tierra al tener una masa mi grande atrae al satélite chocando contra la tierra.

Cualquiera sea la masa del el planeta atrae al satélite hacia él, cuando la masa es muy grande la atracción también lo es y el satélite describe una elipse, en algún punto de la trayectoria la distancia radial al centro de masas es menor que el radio de la tierra(en este caso), es decir cruza la superficie o lo que es lo mismo impacta.
Esto sucede en el problema la masa de la Tierra es lo suficientemente grande para que el satélite termine impactando con la Tierra como bien afirmas.

En cambio si se tratase de un planeta con menos masa se podría dar el caso de que le atrajera menos pudiendo no chocar contra el planeta y en ese caso se generaría una órbita elíptica que cumpliría la conservación del momento angular... lógicamente siempre que no supere la velocidad de escape pues en ese caso abandonaría la órbita elíptica

correcto, cuando se alcanza la velocidad de escape trayectoria es parabólica y si se la supera hiperbólica.

[antoniopardo]

Re: velocidad de un satelite en la orbita conociendo la maxima altitud

Muchas gracias ya me ha quedado perfectamente claro el concepto, este foro es una maravilla para solucionar cualquier duda. Un saludo a todos