1r ciclo Campo gravitatorio creado por una corona esférica

[unoonox]

Buenas, explico la situación. Tengo una corona esférica de masa uniforme (densidad ρ) radio grande R y radio pequeño a. Se me pide calcular el campo creado por dicha corona tanto fuera de ella ( a una distancia r) como en medio de la corona. Estos son mis resultados, quisiera saber si alguien pudiera confirmármelos:

para el exterior de la corona:

$\vec{g}=-4G\frac{\pi\rho(R^{3}-a^{3})}{3r^{3}} \vec{e_r}$

Para el interior de la corona:

$\vec{g}=-4G\frac{\pi\rho(r^{3}-a^{3})}{3r^{3}} \vec{e_r}$

Básicamente lo que cambia de la una a la otra es que la R cambia por la r en la segunda. Mi principal duda, y el motivo por el que pregunto esto, es que en otro ejercicio similar ocurría que la distribución de masa no era homogénea, luego era necesario integrar para conocer la masa interior. Sin embargo, supongo que como aquí ρ es constante en toda la corona esférica, no es necesario integrar nada y la masa interior necesaria para el teorema de Gauß se saca directamente con $m=\rho V$ siendo m y V la masa interior y el volumen interior, respectivamente. ¿Está bien el razonamiento?

Gracias por la ayuda.

[unoonox]

Re: Campo gravitatorio creado por una corona esférica

Cuando digo interior de la corona, perdona la falta de claridad, me refiero a a<r<R

[Richard R Richard]

Re: Campo gravitatorio creado por una corona esférica

Claramente tienes tres zonas

$0<r<a$en esta zona el campo gravitatorio es nulo como aclara alriga, ya que aplicando el teorema de gauss no hay masa encerrada por en el interior de la superficie gaussiana, por lo tanto no hay flujo del campo.

luego

$a<r<R$

En esta zona solo aporta gravedad solo la porción de masa de la corona cuyo posición tiene una distancia radial menor al radio considerado.

$dM=\rho dV$

la masa total de la corona es

$M=\rho \frac 43 \pi \left (R^3-a^3\right )$

para una esfera maciza

$\vec g(r)=\dfrac{GM}{r^2}\dfrac{\vec r}{r}$

$|\vec g(r)|=\dfrac{GM}{r^2}$

por lo que la gravedad total sera la resta de la gravedad generada por una esfera de radio r menos una la generada por una esfera de radio a a la distancia r


$\vec g(r)=\dfrac{G\rho \frac 43 \pi r^3}{r^2}\dfrac{\vec r}{r}-\dfrac{G\rho \frac 43 \pi a^3}{r^2}\dfrac{\vec r}{r}$


$\vec g(r)=\dfrac{G\rho \frac 43 \pi \left (r^3-a^3\right )\vec r}{r^3}$


$|\vec g(r)|=\dfrac{G\rho \frac 43 \pi \left (r^3-a^3\right )}{r^2}$



y cuando $R<r<\infty$


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