Otras carreras ecuación de energía en una vibracion

[andreafz]

hola a todos, trate de hallar la ecuación de movimiento de la vibración de un péndulo de torsión y obtuve esto:a"+k*a/i = 0
siendo a el angulo, k la deformación, e i el momento de inercia.
Ahora se me pide hallar una ecuación similar para la energía de dicho sistema pero no estoy segura de como hacerlo. Agradezco la ayuda.

[iaanmartinez]

Re: ecuación de energía en una vibracion

Hola, se me ocurre esto, puede que me equivoque:

Encontraremos la función $\alpha(t)$ resolviendo la ecuación diferencial de primer orden de variables separables.
Obtenemos que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; luego, asociando el movimiento del pendulo de torsión a un M.A.S sabemos que la Energía viene dada por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Entonces, para nuestro caso $E= \frac{1}{2 }K\times{e}^{\frac{-2Kt}{I} -c1}$

Espero sirva, repito, puede que no sea esa la manera, un saludo.

[Alriga]

Re: ecuación de energía en una vibracion

... Encontraremos la función $\alpha(t)$ resolviendo la ecuación diferencial de primer orden ...

Observa que la ecuación diferencial no es de primer orden, sino de segundo orden

$\ddot{\alpha}+\dfrac K I \ \alpha = 0$

... Obtenemos que $\alpha (t)= {e}^{\frac{-K\times t}{I} -c1}$

No, esa función no es solución de esta ecuación diferencial de 2º orden, la solución es:

$\alpha (t)=A \cdot \cos \left (\sqrt{\dfrac K I} \ t + \phi \right )$

Que es la ecuación de un movimiento armónico. Observa que como proviene de una ecuación diferencial de 2º orden, hay 2 contantes de integración: A, $\phi$

Saludos.

[felmon38]

Re: ecuación de energía en una vibracion

Creo que lo que te piden es que lo resuelvas por el teorema de la energía cinética:

-k.(a²-a₀²)/2=I.(a^'2-a₀^'2)/2

Saludos

[Alriga]

Re: ecuación de energía en una vibracion

... Ahora se me pide hallar una ecuación similar para la energía de dicho sistema ...

No estoy muy seguro de lo que te piden, pero creo que tal vez sea que deduzcas esa misma ecuación diferencial mediante la conservación de la energía.

Energía potencial del péndulo de torsión:

$E_p=\dfrac 1 2 K \alpha^2$

Energía cinética de rotación:

$E_{cr}=\dfrac 1 2 I \dot{\alpha}^2$

Como el sistema se supone no disipativo, la energía mecánica se conserva:

$E_M=E_{cr}+E_p=cte$

$\dfrac 1 2 I \dot{\alpha}^2 + \dfrac 1 2 K \alpha^2 =cte$

Derivando respecto del tiempo:

$I \dot{\alpha} \ddot{\alpha}+K \alpha \dot{\alpha}=0$

Sacando factor común:

$\dot{\alpha} \cdot ( I \ddot{\alpha}+K \alpha)=0$

Para que un producto sea cero, uno de los dos factores ha de ser cero, y la velocidad angular $\dot{\alpha}$ no es siempre cero, luego:

$I \ddot{\alpha}+K \alpha=0$

$\ddot{\alpha}+\dfrac K I \ \alpha=0$

Y hemos obtenido la misma ecuación diferencial del movimiento.

Saludos.

[Joako98]

Re: ecuación de energía en una vibracion

Te piden hallar la ecuación de la energía del sistema, asumo que el sistema solo esta rotando, su centro de masa esta estático, al ser asi se descartan las energías potencial gravitatoria y cinética transaccional, pero el sistema al estar rotando, posee energía cinética rotacional:[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Para encontrar la funcion de energia potencial nos valemos de que $.\frac{\partial P}{\partial \alpha } = -k * \alpha$.
Al resolver esta ecuacion diferencial, obtenemos que $P(\alpha) = \frac{1}{2 } * k * \alpha^2$.
La suma de estas dos energias es la energia total del sistema, la cual debe permanecer constante.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]