1r ciclo Justificación fórmula

[unoonox]

Buenas, tengo la situación que se ve en la imagen, me piden que justifique la siguiente expresión, la cual relaciona las masas m y M con la aceleración a de la masa M:
$M=\frac{m(2g-a)}{4a}$
La cosa es que no consigo llegar a esa expresión. Mediante fuerzas llego a $M=\frac{m(g-a)}{a}$
Ayuda por favor, es relativamente urgente
Gracias

[Zorak]

Re: Justificación fórmula

No se entiende muy bien el dibujo de la polea, asumo que es un aparejo doble, lo que hace este mecanismo es duplicar la fuerza de entrada. por lo que el planteo te queda asi:

$M {a}_{1 } = T$

$m {a}_{ 2}=2T-m g$

Fijate que las aceleraciones no son iguales, debido a el paso de la cuerda por las dos poleas, la relación las sacas analizando las dos poleas por separado

$I {\alpha}_{1 }=T R$

$I {\alpha}_{2 }=2T R$

[unoonox]

Re: Justificación fórmula

el dibujo es este, más concretamente. Me resulta extraño que haya que usar momentos de inercia y todo eso porque es un ejercicio que se encuentra en una práctica de planos inclinados, sin más.

[Al2000]

Re: Justificación fórmula

- Cuerpo M: $T = M a$

- Cuerpo m: $\dst m g - 2 T = m \frac a 2$

Nota que cuando el cuerpo M avanza una cierta distancia hacia la derecha, el cuerpo m baja la mitad de esa distancia. La misma relación existe entre sus velocidades y sus aceleraciones, todo basado en que la cuerda es ideal (inextensible). Esto es lo que se llama una condición de ligadura.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Zorak]

Re: Justificación fórmula

Es la única forma que se me ocurre sacar la relación entre las dos aceleraciones, usando las sumatorias de momento de las poleas.
En fin , fíjate que termina dando que una aceleración es el doble de la otra, coincidiendo con lo que puso Al arriba.

[Al2000]

Re: Justificación fórmula

Es la única forma que se me ocurre sacar la relación entre las dos aceleraciones, usando las sumatorias de momento de las poleas.
...

Considera que la cuerda tiene longitud constante y obtén la relación entre los desplazamientos. Halla las aceleraciones al derivar dos veces

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[unoonox]

Re: Justificación fórmula

No entiendo por qué en la masa m actúa 2T, siempre me han liado las tensiones...

[Alriga]

Re: Justificación fórmula

Como la masa de la polea es despreciable considera que m y la polea inferior son el mismo cuerpo: en su diagrama de cuerpo libre, de él "tiran" hacia arriba las dos cuerdas con T cada una, luego hacia arriba 2T y hacia abajo el peso mg

$mg-2T=m \dfrac a 2$

Saludos.

[unoonox]

Re: Justificación fórmula

Vale, perfecto, muchas gracias a todos

[ignorante]

Re: Justificación fórmula

Hola a todos. Me ha surgido una duda de este tema. Si consideramos el dispositivo de la figura, pero con una polea simple, entonces ¿qué relación hay entre el peso (w) del cuerpo que cae y la fuerza (F) que se aplica al cuerpo que se desliza sobre la mesa (suponiendo que no hay fricción con la mesa)? ¿Tendrían el mismo valor w=F?

[Al2000]

Re: Justificación fórmula

Eso es correcto.

[ignorante]

Re: Justificación fórmula

Eso es correcto.

Gracias Al2000. Pero otra dudita: ¿entonces la aceleración del bloque de la mesa tendría el mismo valor que la aceleración con la que cae el cuerpo colgante? De ser así, ¿qué valor tendría esa aceleración?

[Richard R Richard]

Re: Justificación fórmula

[FONT=Verdana]

¿entonces la aceleración del bloque de la mesa tendría el mismo valor que la aceleración con la que cae el cuerpo colgante? [/FONT][FONT=Verdana]

[/FONT][FONT=Verdana]
[/FONT]
El valor del modulo de la aceleración es el mismo para las dos masas[FONT=Verdana]
[/FONT][FONT=Verdana]

[/FONT][FONT=Verdana]De ser así, ¿qué valor tendría esa aceleración?

[/FONT]


para el cuerpo sobre el Plano

$$\dst \sum F_y=0=N-Mg$$

$$\dst \sum F_x=T=Ma$$

para el cuerpo suspendido

$$\dst \sum F_y=mg-T=ma$$

$$\dst \sum F_x=0$$

combinando la 2 y la 3

$$mg-Ma=ma\quad \to \quad mg=ma+Ma\quad \to \quad \boxed{a=g\dfrac {m}{m+M}}$$

PD: recuerda que en el esquema que arranco el hilo , la aceleración horizontal de la masa M es el doble que la aceleración vertical de la masa m suspendida, por tener una polea móvil.

[ignorante]

Re: Justificación fórmula

Gracias por tu explicación Richard. Pero tengo otra dudita: Yo había preguntado si el peso colgante (w=mg) tenía el mismo valor que la fuerza sobre el bloque (F=Ma), es decir, preguntaba si w=F (mg=Ma). Al2000 me había dicho que sí. Pero viendo tu ecuación (5):

$$mg-Ma=ma\quad \to \quad mg=ma+Ma\quad \to \quad \boxed{a=g\dfrac {m}{m+M}}$$

me parece que no coincide con lo dicho por Al2000. ¿Se cumple w=F (mg=Ma), o no?

[Richard R Richard]

Re: Justificación fórmula

Hola ignorante, solo cuando el descenso es a velocidad constante(con aceleración $a =0$), la tensión $T$ o $F$ es igual al peso $w$ , así la tensión transmitida al cuerpo en el plano horizontal también será $T$ pero para que ello suceda debe haber rozamiento sobre el plano horizontal. Imagino que Al ha contestado en ese sentido.

Si el descenso es acelerado la Tensión $T$ no es igual al peso w osea $T=m(g-a)=F<w=mg$


el planteo con rozamiento $F_r=\mu N=\mu Mg$ y descenso a velocidad constante

y las ecuaciones cambian a


para el cuerpo en el plano horizontal

$$\dst \sum F_y=0=N-Mg$$

$$\dst \sum F_x=T-F_r=T-\mu Mg=0$$

para el cuerpo suspendido

$$\dst \sum F_y=mg-T=0$$

$$\dst \sum F_x=0$$

combinando la 2 y la 3 $a=0$

$$T=F=w=mg=\mu Mg$$

por lo que el coeficiente $\mu$ debe ser exacto $\mu=\frac mM$