Olimpiada Condición para que se separen dos objetos

[Visitante]

Buenas tardes,

Esto es algo que me ha causado bastante dudas, en el problema 3 de la fase nacional de física de 2006 (lo pueden encontrar online entrando en la página oficial de las olimpiadas de física) se dice que para que se separen los objetos la fuerza de contacto entre ellos debe ser nula ¿Saben de algún lugar donde pueda ver la demostración de esto?

[Richard R Richard]

Re: Condición para que se separen dos objetos

Sin poner el enunciado te hubiese contestado cualquier cosa.....

P3. Oscilaciones.
Una pequeña bolita de masa $m$ descansa sobre un plataforma que está oscilando verticalmente con un
movimiento armónico simple dado por $y = A\sin \omega t$.
a) Deduzca las expresiones de la fuerza $F_b$ que la plataforma ejerce sobre la
bolita en función del tiempo, $t$, y de la posición, $y$. A partir de ellas,
encuentre la relación que han de guardar los parámetros de este
movimiento y la aceleración de la gravedad para que la bolita no se separe
de la plataforma.


b) Siendo $\omega^2A=2g$ y $A = 15 cm$ ¿en qué posición, $d_y$ , e instante, $d_t$ , se
despega la bolita de la plataforma?


c) Para la aplicación numérica anterior, represente gráficamente y de forma
cualitativa
i) la fuerza por unidad de masa, $F_b / m$ , en función de la
posición de la plataforma, $y$;
ii), la posición de la bolita $y$

[ATTACH=CONFIG]12321[/ATTACH]

a) si la posición es $y = A\sin \omega t$.

la velocidad es

$v_y=\frac{\partial y}{\partial t}=A\omega \cos \omega t$

la aceleración es

$a_y=\frac{\partial v_y}{\partial t}=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\omega^2 \sin \omega t$

la fuerza es $F_b=m_b a_y=-m_b A\omega^2 \sin \omega t=-m_b\omega^2y$

La condición necesaria para que no se separe es que la normal $N\geqslant 0$

en el límite $N=0=mg-F_b$

así $\dfrac {F_b}{m_b}=g=-\omega^2 y\quad \to\quad y=-\dfrac {g}{\omega^2}$


en b)

$\omega_b^2A=2g\quad \to\quad d_y=-\dfrac {g}{\omega_b^2}=-\dfrac {g}{-\frac {2g}{A}}=\dfrac {A}{2}=7.5 cm$

ojo la relacion te la dieron en modulo pero siempre la aceleración tiene el signo contrario a la posición.

c)

[Al2000]

Re: Condición para que se separen dos objetos

Mi versión del inciso a), por lo que pueda valer...

$$y= A \, \mathrm {sen} \, \omega t \quad \Rightarrow \quad v = \omega A \cos \omega t \quad \Rightarrow \quad a = -\omega ^2 A \, \mathrm {sen} \, \omega t$$

$$N - m g = m a \quad \Rightarrow \quad N = m (a + g)$$

Se exige contacto permanente, es decir, $N > 0$

$$N > 0 \quad \Rightarrow \quad m (a + g) > 0 \quad \Rightarrow \quad a > -g$$

Entonces

$$- \omega ^2 A \, \mathrm {sen} \, \omega t > -g \quad \Rightarrow \quad A \, \mathrm {sen} \, \omega t < \frac g {\omega ^2}$$

El mayor valor posible del lado izquierdo ocurre cuando la posición es máxima, instante en el cual $\mathrm {sen} \, \omega t = 1$. Entonces

$$\boxed {A < \frac g {\omega ^2}}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Por cierto, la fuerza que ejerce la plataforma sobre la bolita ES la fuerza normal.