2o ciclo Propagación y atenuación pulso rectangular

[franki]

Hola,

A ver si me podéis ayudar:


Si yo envío una señal con forma de una delta de dirac (un pico) a una determinada frecuencia, esta se irá ensanchando y irá bajando de amplitud (atenuándose) a medida que se vaya propagando. Creo que la delta de dirac se transforma en una gaussiana si no me equivoco.
Pero que pasa con un pulso rectangular, y porqué??

Yo envio un pulso rectangular a través de un medio, y no recibo un pulso rectangular, sino una serie de oscilaciones con una determinada envolvente.
Alguien me podría decir cómo puedo predecir la curva que obtengo en la respuesta? O algun enlace donde se explique esa teoría?

gracias!

[Julián]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Deberás especificar varias cosas, como por ejemplo de que medio estamos hablando, si en una linea de transmición (con un para de cobre trenzado), en una guia de onda, en el espacio libre o si es una señal óptica en una fibra óptica.

Con respecto al delta de dirac, esta última es una señal imposible de obtener en la práctica en cambio un pulso si. Y con respecto a la deformación de la señal dependerá de los parámetros distribuidos del medio y si estos son lineales o alineales. A su vez está mal dicho:

Si yo envío una señal con forma de una delta de dirac (un pico) a una determinada frecuencia

Si envias un impulso (delta de dirac) es eso un impulso, el cual tiene un contenido armónico en todas las frecuencias. Otra cosa diferente es enviar un tren de impulsos, ahí si podemos hablar de frecuencia o periodo. Lo mismo es con respecto a un tren de pulsos.

Alguien me podría decir cómo puedo predecir la curva que obtengo en la respuesta?

Eso dependerá de los parámetros del medio.

Te recomiendo los libros: "Sistemas de comunicaciones" - TOMASI
"Fundamentos de electromagnetismo para ingenieria" - David K. Cheng

[franki]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

gracias Julián.

En realidad emito un pulso rectangular de ultrasonidos que se propaga en agua. el pulso tiene una duración de un centenar de nanosegundos.
Lo he puesto en este apartado del foro porque no sabia donde ponerlo.

[Julián]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Ahora si estamos hablando de un medio y una perturbación en ese medio, no es electromagnetismo pero el estudio de señales y sistemas es el mismo.
$<br /> p(t) = Re \{ {e}^{- \alpha z}A{e}^{j \beta z - \omega t } \} \hat{z} = {e}^{- \alpha z}A sen (\beta z - \omega t) \hat{z}$ (si la señal no tiene esta forma se aproxima por una combinación lineal de estas funciones, funcional denominado transformada de fourrier pero debido a la existencia de la atenuación lo mejor es el funcional transformada de laplace)

p(t) es la variación de presión en el medio, es decir, el sonido.

Donde $\alpha$ es la atenuación o coeficiente de atenuación acústica $\beta= \frac{2 \pi}{\lambda}$ y landa corresponde a la longitud de onda sonora (beta muchas veces es denominado k en la bibliografías pero me gusta llamarlo diferente para defierencia lo electromagnético de todo lo demás)y $\omega= 2 \pi f$, tal que f es la frecuencia sonora y $v= \lambda f$ donde v es la velocidad del sonido en dicho medio. y $z$ es la dirección de desplazamiento de la onda.

Ahora bien, el sensor ultrasónico lo que produce es una variación del desplazamiento del cono del ultrasonido y existe una relación entre presión y desplazamiento de las partículas o velocidad de las partículas denominado impedancia acústica, (vez que el estudio es parecido al electromagnetismo)

Como toda impedancia tiene una parte real que cuantifica la transferencia de energía y una reactiva que produce un desfasaje y cambio de amplitud entre la señal de presión y la velocidad de las partículas. No me acuerdo si el agua tenía una parte reactiva elevada lo que encontré es solamente el módulo.

impedancia acústica del agua $1.49*{10}^{6} \frac{Kg}{{m}^{2}}s$ o lo que es lo mismo en $Pa \frac{s}{{m}^{3}}$

Al existir una parte reactiva se debe considerar la respuesta en frecuencia y por lo tanto existe una deformación de la señal, si esta no es armónica. Es decir, un pulso se deformará, en cambio si la señal es senoidal o cosenoidal, como generalmente usan los ultrasonido, lo que se modifica es la amplitud y la fase. Teoría de señales y sistemas básico. Y por supuesto ante medios diferentes, diferentes impedancias acústicas y por lo tanto se da el efecto de reflexión y transmición, tal que si la impedancia del medio 2 es mucho más grande en modulo existe una reflexión casi total, nuevamente análisis de señales y sistemas.

Ahora hay que ver que tipo de señal y que tipo de sensor tienes, un sensor o generador ultrasónico lo que hace es genera trenes de pulso que tienen forma senoidal. Es decir, es una senoidal modulada en amplitud. No es un pulso hecho y derecho. Y al pulsos de senoidales no me preocuparía por la deformación, tendría en cuenta solamente la apertura del generador, ya que a mayor distancia la onda cubre más superficie y su intensidad disminuye, por más que no disminuya la energía total y el coeficiente de absorción acústica por ejemplo en la siguiente tabla tienes algunos alfas para algunos materiales pero para frecuencias no ultrasónicas, tendrás que buscar para frecuencias más altas

http://www.cimec.org.ar/ojs/index.ph...File/4527/4456

[franki]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

un sensor o generador ultrasónico lo que hace es genera trenes de pulso que tienen forma senoidal

No, yo lo que tengo es un material piezoeléctrico, al que le conecto dos cables y le puedo enviar la señal que yo quiera.
En mi caso concreto, quiero enviar un pulso rectangular de una determinada amplitud, y me gustaría saber cómo puedo predecir la forma de esta señal captada por otro piezo (igual que el emisor), situado a una cierta distancia $$z$$ del emisor.
La amplitud del señal en el piezo receptor será muucho menor que en el emisor, debido a la atenuación del sonido en el agua. Esta atenuación está determinada por el coeficiente de atenuación $$\alpha$$ factor está medido y por tanto puedo tener una idea del orden de magnitud de la amplitud del señal que obtendré, pero no sé como calcular la forma que tendrá la señal.
Me explico? Adjunto dibujo para explicarme mejor.

[carroza]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Hola.

Cualitativamente, lo que ocurre es que las componentes de frecuencia más alta (o longitud de onda más corta) de tu onda se atenuan más rápido, con lo cual al final te vas quedando con un pulso más parecido a una sinusoide.

Si quieres verlo más cuantitativamente, podrias hacer un análisis de fourier de tu pulso cuadrado, en el que tendras muchas frecuencias, y longitudes de onda. En el desarrollo de Fourier domina la longitud de onda que corresponde a la anchura de tu pulso, pero tienes otras longitudes de onda más corta que ayudan a conformar la forma cuadrada.

Tras la propagacion, se te atenuan más las longutudes de onda cortas, con lo que la forma del pulso se te redondea.

Saludos

[franki]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Muchas gracias carroza,

Exacto, esto es justamente lo que busco, pero de dónde puedo sacar información concreta? Algun libro, apuntes o artículo donde se explique esto con detalle?
Supongamos que construyo mi puslo como una suma de señales periódicas de, pongamos, 10 frecuencias diferentes. Cómo sé que se atenúan más las frecuencias altas? Cómo padría saber cuantitativamente la relación entre el coeficiente de atenuación y la frecuencia, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?
Supongo que con esto podría solucionar mi duda.

[Julián]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Hay que encontrar cual es la función de transferencia del medio, desconozco como es y en una simple mirada en internet no está pero como todo sistema y más de primer orden, siempre son pasabajos. Un pulso, en el diagrama de la frecuencia es:

$p(j \omega) = T sinc( T {\omega}{2 \pi})$ donde T es el ancho del pulso. La parte espacial de la onda no importa. Y con la consideranción que el 98% de la energía está contenida en el primer nodulo del seno complementario.

Ahora, si

lo que tengo es un material piezoeléctrico, al que le conecto dos cables y le puedo enviar la señal que yo quiera.

No se encuentra la función de transferencia del agua en un simple vistaso por internet, así que o la buscas en un libro especial de acústica o la mides.
Para medirla tienes que enviar senoidales desde la frecuencia 0 hasta la frecuencia más elevada posible y obtener la atenuación y el desfasaje medidos para cada frecuencia y de esta manera obtienes la función de transferencia.

Pero si puedes mandar cualquier señal ¿Por qué no envias una senodial? Como decía un profesor que tuve, las señales senoidales son mágicas ya que son autofunciones de sistemas lineales, sin lugar a dudas el agua y un pizoeléctrico se aproximan a sistemas lineales, por lo que no se deforma ya que no tiene contenido en frecuencia, simplemente se modifica su amplitud y fase. De esta manera mandas trenes de pulso senoidales, es decir, una modulación ASK, la misma modulación que utilizaban hasta hace 15 años los modem de todo el mundo. Y dicha modulación es utilizada en todo ecografo utilizado hoy en día, así como sonar.

https://www.textoscientificos.com/redes/modulacion/ask

Además y algo muy importante. La respuesta de un pizoeléctrico no es plana en frecuencia (tienen un pico de frecuencia o frecuencia de resonancia), por lo que por más que la señal no se deforme en el agua, si se deformará en el sensado si utilizas trenes de pulso. Además de que saldrá deformada primeramente. Otra cosa más del por qué deberías usar señales senoidales.

Respuesta en frecuencia de un pizoeléctrico.
http://iopscience.iop.org/article/10...6/22/11/115001

Las señales en banda base son complicadas y es por esto que no hay normativa que defina, para señales eléctricas en banda base, lineas de transmisicón o guias de onda mayor al kilometro, por las reactancias distribuidas. Imagina que el cable usb tiene por normativa 15 metros como máxima para no tener una deformación grosera de un pulso. Así que si queremos enviar algo más distancia hay que modular en senoidales. Hasta las fibras ópticas tiene una distancia máxima de 10Km en monomodo y eso que utilizan características alineales para que el pulso no interaccione los más posible con el sistema. ¿Y vos estás enviando señales sonoras en banda base con un ancho de pulso de nanosegundos con un elemento como el pizoeléctrico que tiene una respuesta en frecuencia asquerosa? Es una locura!

[franki]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

muchisimas gracias Julián, ahora lo tengo un poco más claro y veo que es más complicado de lo que imaginaba..

[carroza]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Exacto, esto es justamente lo que busco, pero de dónde puedo sacar información concreta? Algun libro, apuntes o artículo donde se explique esto con detalle?
Supongamos que construyo mi puslo como una suma de señales periódicas de, pongamos, 10 frecuencias diferentes. Cómo sé que se atenúan más las frecuencias altas? Cómo padría saber cuantitativamente la relación entre el coeficiente de atenuación y la frecuencia, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?
Supongo que con esto podría solucionar mi duda.

Hola. En la wikipedia tienes la forma de la transformada de Fourier del pulso cuadrado.

https://en.wikipedia.org/wiki/Rectan...gular_function

Esencialmente, la transformada de un pulso cuadrado $f(x)$, constante entre -L y L, y cero fuera, es $F(\omega) = {\sin{ \omega L} \over \omega L}$

Una hipotesis razonable para el coeficiente de atenuación es tomarlo cuadrático con la frecuencia: $\alpha(\omega) = C \omega^2$. Esto te hace que, conforme pase el tiempo, las frecuencias altas se te atenúan con un factor $\exp( - t C \omega^2)$. Con eso, en el dominio de frecuencias, tu señal se te convierte en
$F(\omega, t) = {\sin{ \omega L} \over \omega L} \exp( - t C \omega^2)$

si haces la transformada inversa,

$f(x,t) =\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \exp(i \omega x) {\sin{ \omega L} \over \omega L} \exp( - t C \omega^2)$

tienes la forma que buscas.

Fijate que si tu pulso fuera muy corto $L \to 0$, tu pulso sería una delta de Dirac. En el dominio de frecuencias, $F(\omega)$sería constante, con lo que tras la atenuación, $F(\omega, t) = \exp( - t C \omega^2)$ sería una gaussiana, de anchura decreciente con el tiempo. Su transformada de Fourier
$f(x,t)$ sería una gaussiana, de anchura creciente con el tiempo.

Saludos

[franki]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Entonces lo que haces es:
1º. Calculas la transformada de Fourier de la señal.
2º. Multiplicas por el factor de atenuación (en el dominio de las frecuencias).
3º. Haces la transformada inversa

y el resultado de estos 3 pasos es la señal que recibo??
El método me parece muy bonito.

Una cosa que no he entendido de lo que me has explicado es que el coeficiente de atenuación es lineal con el tiempo? porque?

[carroza]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Hola. El coeficiente de atenuación te da como cambia la amplitud de la onda con el tiempo, o si lo prefieres, con la distancia que recorre por la fibra optica, o con la profundidad que penetra en un medio (por ejemplo, agua)
https://en.wikipedia.org/wiki/Beer%E2%80%93Lambert_law

Este coeficiente no depende del tiempo.

Así, si consideramos la amplitud de la señal en cada frecuencia, cumplira:

${d F(\omega, t) \over dt} = - \alpha ( \omega) F(\omega, t)$

resolvuendo esta ecuación, tienes

$F(\omega, t) = F(\omega, 0) \exp(- \alpha(\omega) t)$

Asi, aunque $\alpha$ no depende del tiempo, $F(\omega, t)$ se atenua exponencialmente con el tiempo.

El mismo tipo de ecuación se aplica si quieres ver la atenuación en función de la distancia z que viaja la onda. Simplemente, en la expresión anterior, considera que $z=ct$, donde c es la velocidad de la onda, y tienes:

$F(\omega, z) = F(\omega, 0) \exp(- \alpha(\omega) z/c)$

saludos

[Julián]

Re: Propagación y atenuación pulso rectangular

Entonces lo que haces es:
1º. Calculas la transformada de Fourier de la señal.
2º. Multiplicas por el factor de atenuación (en el dominio de las frecuencias).
3º. Haces la transformada inversa

y el resultado de estos 3 pasos es la señal que recibo??
El método me parece muy bonito.

El 2 está mal, no es el factor de atenuación sino función de transferencia del sistema. La función de transferencia en el diagrama de la frecuencia $H(j \omega)$ es una función compleja que indica como afecta el sistema a cada componente frecuencial tanto en amplitud como en fase sin considerar un transistorio, es decir, un intervalo de tiempo.

Si quieres ver como se atenúa en el tiempo, es decir cuando existe un transistorio, se debe implementar la función de transferencia en el diagrama de la frecuencia compleja $H(s)$, es decir, $s= \sigma + j \omega$ de tal manera que la función de transferencia en frecuencia con la función de transferencia en frecuencia compleja están relacionadas ya que $\dst {H(s)}_{\sigma=0}= H(j \omega)$

el término sigma es lo que se atenúa en función del tiempo la amplitud de la señal y no en función de la frecuencia, ya que

${e}^{s t} = {e}^{\sigma t + j \omega t} = {e}^{\sigma t} {e}^{j \omega t}$

Los puntos 1 y 3 lo entiendes bien. Otra forma de resolver esto es por convolución o directamente en el diagrama temporal resolviendo las ecuaciones diferenciales. Es más se realiza la transformación con la función de laplace para no realizar la función de convolución en el dominio temporal que es algo muy engorroso.

https://es.wikipedia.org/wiki/Convoluci%C3%B3n (fijate como en la animación el pulso es deformado si el sistema tiene una respuesta al impulso exponencialmente decreciente en el tiempo)

La relación está demostrada en el teorema de la convolución https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_convoluci%C3%B3n

Lo que dice Carroza es la atenuación no en función del tiempo sino en función de la distancia, aspecto también presente en las ecuaciones de cualquier onda pero en ese caso, si quieres ver la respuesta en frecuencia compleja y la respuesta en espacio complejo, donde $\gamma = \alpha + j \beta$ y la función de transferencia en el espacio es $T(\gamma)$

Tal que la representación completa de la onda de salida es:

$\dst Y(\gamma, s) = H(s , \gamma) X(\gamma, s) \Rightarrow Y(\gamma) Y(s)= H(s) T(\gamma) X(\gamma) X(s)$

Donde $Y(\gamma, s)$ es la función de onda que obtienes cuando envias una función de onda $\dst X(\gamma, s)$ por un medio cuya función de transferencia es$H(s , \gamma)$, luego que obtienes $Y(\gamma , s)$ antitransformas al dominio espacial y temporal.

Por cierto una función armónica pura tendrá la forma de $\dst X(\gamma, s) = \frac{\omega}{{s}^{2} + {\omega}^{2}}* \frac{\beta}{{\gamma}^{2} + {\beta}^{2}}$ que si antitransformamos tenemos $\dst x(z, t) = {e}^{- \alpha z} {e}^{- \sigma t} sen (\beta z + \omega t)$ La onda senoidal pura.

Ya que la antitransformación está definida como:

$\dst x(z,t )= {\int}_{-\infty}^{\infty} {\int}_{- \infty}^{\infty} X(\gamma , s) {e}^{s t} {e}^{\gamma z} d \gamma d s$ y si quieres ver la respuesta cuando mandas x$x(z,t)$ por un medio es: $\dst Y(z,t )= {\int}_{-\infty}^{\infty} {\int}_{- \infty}^{\infty} (H(\gamma, s)*X(\gamma , s) ){e}^{s t} {e}^{\gamma z} d \gamma d s$

Es por esto que lo mejor es mandar una senal senoidal ya que al no tener contenido en frecuencia te olvidas de $H(s)$ y solo tienes en cuenta $H(\gamma)$. Solo un loquito enviaría, por ejemplo, en una antena, una señal cuadrada. Lo mismo es aplicable para cualquier medio lineal.
Por cierto transformar solo es posible en sistemas lineales o LTI