Otras carreras Movimiento curvilíneo, duda sobre deducción de las componentes tangencial y normal de la aceleración

[HGDANSRB]

En la imagen siguiente se muestran las velocidades de un punto $\textbf{P}$ que se mueve en una trayectoria curvilínea en un instante $t$ y $t+\Delta t$:



Los vectores de la imagen anterior son los siguientes:

$\dst V=V(t)$

$\dst h=V(t+\Delta t)$

$\dst h-V=V(t+\Delta t)-V(t)=\Delta V$

El vector aceleración es el siguiente:

$\dst a=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{V(t+\Delta t)-V(t)}{ \Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta V}{\Delta t }$

En la ecuación anterior se obtuvo el vector aceleración, ahora, el vector aceleración esta compuesto por las componentes $\textbf{x}$, dirigida a lo largo del vector unitario [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , $\textbf{y}$, dirigida a lo largo del vector unitario [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . A la magnitud del vector $V(t)$ se le llamará $v$, la componente $\textbf{x}$ es la siguiente:

$\dst x = \Delta ve_{t}$

De la ecuación anterior es claro que $\textbf{x}$ es igual a un cambio en magnitud del vector velocidad $V(t)$ puesto que $V(t)$ solo cambia en la dirección $e_{t}$. Para la componente $\textbf{y}$ es donde me surgen las dudas, lo hice de la siguiente manera, la componente $\textbf{y}$ estaría dada por la siguiente ecuación:

$\dst y = \sin(\Delta\theta)V(t+\Delta t)$

Si hago $\Delta t$ sumamente pequeño $V(t+\Delta t)$ se aproxima a $V(t)$ cuya magnitud es $v$, por lo cual también $\Delta\theta$ se haría muy pequeño y $\sin(\Delta\theta)$ se aproximaría por $\Delta\theta$, la ecuación anterior quedaría de la siguiente manera:

$\dst y = v\Delta\theta e_{n}$

Ahora que tenemos las componentes $e_{t}$ y $e_{n}$ las sustituimos en la ecuación para la aceleración y se obtiene:


$\dst a=\lim_{\Delta t \to 0}\bigg(\frac{\Delta v}{ \Delta t}e_{t} + v\frac{\Delta\theta}{\Delta t}e_{n}\bigg)=\bigg(\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{dt} }e_{t}+v\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }e_{n}\bigg)$

A partir del radio de curvatura instantáneo que es $\rho$ la aceleración queda expresada en sus componentes normal y tangencial de la siguiente manera:

$\dst a=\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{dt} }e_{t}+v\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }e_{n}=\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{dt} }e_{t}+\frac{{v}^{2}}{\rho}e_{n}$

La duda esta en si el procedimiento que realice para obtener la componente en $e_{n}$ es correcto, ya que esta demostración esta en el libro Mecánica para Ingeniería Dinámica 5 edición de Bedford y Fowler en la página 68 y ahí solo mencionan el valor para la componente $e_{n}$ pero no dice de donde salio, solo quiero saber de donde sale, o si es correcto mi análisis, espero resuelvan mi duda, gracias por leer.

[Alriga]

Re: Movimiento curvilíneo, duda sobre deducción de las componentes tangencial y normal de la aceleración

El resultado al que llegas es correcto. Una demostración alternativa puedes encontrarla en la Wikipedia Componentes intrínsecas de la aceleración

El último paso de la Wikipedia para hallar la aceleración normal hecho despacio es:

$v(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{\hat{e}}_{\text{t}})=v \ \dfrac{v}{\rho} \ \mathbf{\hat{e}}_{\text{n}}=\dfrac{v^2} {\rho} \ \mathbf{\hat{e}}_{\text{n}}=a_n \mathbf{\hat{e}}_{\text{n}}$

Saludos.

[HGDANSRB]

Re: Movimiento curvilíneo, duda sobre deducción de las componentes tangencial y normal de la aceleración

Gracias por responder, esta demostración de la Wikipedia ya la había visto, de hecho en el libro que menciono esta esa, también está la que menciono en este hilo, la de la duda. Solo quería que me dijera alguien con más conocimientos que yo si estaba bien, ya que sinceramente lo de la aproximación del $\sin(\Delta\theta)$ no me convencía, pero después de analizarlo un rato más me doy cuenta que tiene sentido, y efectivamente es correcto, gracias de nuevo.

[Alriga]

Re: Movimiento curvilíneo, duda sobre deducción de las componentes tangencial y normal de la aceleración

... lo de la aproximación del $\sin(\Delta\theta)$ no me convencía, ...

La aproximación $\boxed{\sin x \simeq x}$ cuando $\boxed{x \rightarrow 0}$ recuérdala, pues la harás muchas veces en la carrera, (por ejemplo, en la aproximación lineal de la ecuación diferencial del movimiento del péndulo)

La aproximación se ve muy bien observando la Serie de Taylor (MacLaurin) de la función seno:

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+...$

Se ve enseguida que si x es pequeño, su cubo, quinta potencia, etc son sumandos despreciables frente a x. Si tomamos 6 decimales de precisión:

x	sin x	error relativo |(sin x - x) / sin x|
0,2	0,198669	6,7E-03
0,1	0,099833	1,7E-03
0,05	0,049979	4,2E-04
0,02	0,019999	6,7E-05
0,01	0,010000	1,7E-05
0,005	0,005000	4,2E-06
0,001	0,001000	1,7E-07

Saludos

[Al2000]

Re: Movimiento curvilíneo, duda sobre deducción de las componentes tangencial y normal de la aceleración

Un chiste off topic: - El alumno un tanto desubicado: Profe, $\mathrm {sen} \, \pi \approx \pi$ , porque $\pi$ es 3.14, es chiquito...