Secundaria trabajo para jalar cadena

[Violetta]

Hola. Este problema parece sencillo pero me esta rompiendo la cabeza

Se sujeta una cuerda sin fricción desde la que cuelga un cuarto de su longitud como se muestra en la figura. Si la cadena tiene una longitud $L$ y una masa $m$, ¿cuánto trabajo se requiere para jalar la parte que cuelga hasta que quede totalmente sobre la mesa?

[Al2000]

Re: trabajo para jalar cadena

Como mínimo un trabajo igual al aumento en la energía potencial debido a subir la parte que cuelga, (m/4)(g)(L/8).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Violetta]

Re: trabajo para jalar cadena

¿Cómo llega a ese valor? Específicamente L/8. Es obvio que no sería L/4 porque cada punto de la cadena esta a diferente distancia del borde de la mesa. Algo me dice que podría tomar secciones infinitesimales de la cadena para luego integrar, pero no sé cómo hacerlo. Por lo que veo usted no necesitó integrar, de todas formas me gustaría conocer varias formas de resolver el problema, si es que las hay.

[Al2000]

Re: trabajo para jalar cadena

Es la posición del centro de masa del segmento de cadena que cuelga

[Syik]

Re: trabajo para jalar cadena

Aviso de que es muy posible que me equivoque porque no controlo mucho, pero aquí va lo que yo he intentado:

El trabajo que vamos a emplear será:

$W=\int F\dd l$

Por otra parte, la fuerza será la masa que está colgando por el campo gravitatorio:

$F=mg$

Inventandome una densidad lineal de masa, y despenjando la masa llego a:

$\lambda=\frac{M}{L}=\frac{m}{l}$

$m=\lambda l$

Sustituyendo:

$W=\int \lambda l g \dd l$

En este momento he tomado como límites de integración 0 y L/4 de modo que me queda

$W=\frac{\lambda g{L}^{2}}{32}$

Dado que $\lambda=\frac{M}{L}$,

$W=\frac{M gL}{32}$

Repito que no tengo idea de si esta bien hecho, por eso lo pongo...


Ahora que lo veo, parece que concuerda con la respuesta de AL, solo que hacerlo con el centro de masas es mucho mas sencillo jeje

[Violetta]

Re: trabajo para jalar cadena

Muchas gracias a los dos. Yo también llegué al mismo resultado, diría que fue por la fuerza bruta jeje. Creo que es la manera menos ortodoxa de resolver un problema de física que usé en mi vida jeje aquí va:

Primero empecé dividiendo el segmento que cuelga en partes iguales, por ejemplo en 5 (Aclaro que modifiqué el problema y me enfoqué solo en la parte que cuelga, es decir, L y m son la longitud y masa de la parte que cuelga, el resto de la cadena no existe)

$W\approx \frac{m}{5}g\frac{L}{5}+\frac{m}{5}g2\frac{L}{5}+\frac{m}{5}g3\frac{L}{5}+\frac{m}{5}g4\frac{L}{5}+\frac{m}{5}g5\frac{L}{5}=\frac{m}{5}g\frac{L}{5}(1+2+3+4+5)$

La forma general sería $W\approx\frac{mgL}{{n}^{2}}\sum_{i = 1}^n\ i=\frac{mgL}{{n}^{2}}\frac{n(n+1)}{2}$

Entonces $W=\lim_{n \to \infty}\frac{mgL}{{n}^{2}}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{mgL}{2}$

Volviendo al problema original solo queda reemplazar $m$ por $\frac{m}{4}$ y $L$ por $\frac{L}{4}$ lo cual concuerda con el resultado.

[Al2000]

Re: trabajo para jalar cadena

OK, Violetta, punto a la creatividad . De manera un poco mas formal, similar a lo hecho por Syik, podrías calcular el trabajo considerando que la fuerza que mueve la cadena iguala en todo momento el peso de la parte colgante de manera que la cadena no acelere. Si la fuerza a avanzado una distancia $x$, la parte de ka cadena que cuelga tiene una longitud $\dst \frac L 4 - x$ y la fuerza equilibra al peso $\dst \frac m L g \left(\frac L 4 - x\right)$ (asumiendo que la cadena es de densidad constante a falta de mas información). El trabajo total será entonces la integral desde $x=0$ hasta $x = L/4$:

$$W = \int_{0}^{L/4}\! \frac m L g \left(\frac L 4 - x\right)\, dx = \frac {m g L}{32}$$

Debo decir, que si bien el cálculo directo puede ser interesante y hasta meritorio, no debes despreciar el cálculo usando el principio de conservación de la energía. Lo que le da la utilidad a ese concepto es que te permite abstraerte de los pasos intermedios y concentrarte solamente en los estados inicial y final.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Una nota off-topic: Cuando pongas una ecuación en una línea (etiqueta [TEX]) y la ecuación tenga fracciones u otros símbolos grandes, el manejador de $\LaTeX$ reducirá el tamaño de los símbolos para que no tengan impacto en el interlineado. Si deseas evitar esa característica, puedes usar el comando "\dst" al principio de tu ecuación. Alternativamente puedes usar la etiqueta [TEX=null] que coloca la ecuación en una línea aparte y la centra entre márgenes o la etiqueta [TEX=*] que además de lo anterior numera automáticamente la ecuación. Mas información la consigues en el hilo Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.