1r ciclo Aceleración de centro de masa de cadena

[Violetta]

Hola! Voy en sistemas de partículas y tengo dudas sobre este problema.

Una cadena flexible, uniforme, de longitud $L$, con una masa por unidad de longitud de $\lambda$, pasa sobre una clavija pequeña, sin fricción. Se deja caer desde el reposo de modo que una longitud de cadena $x$ cuelga de un lado, y una longitud $L-x$ cuelga del otro lado. Halle la aceleración $a$ en función de $x$.



Voy a omitir los subíndices "y" de las aceleraciones ya que el movimiento es únicamente unidimensional.

Primero obtengo las aceleraciones de $L-x$ (${a}_{1}$ de masa ${m}_{1}$) y $x$ (${a}_{2}$ de masa ${m}_{2}$) a partir de las leyes de Newton. Tomo como semieje positivo hacia arriba.

Me da $\dst{a}_{2}=\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}g=\frac{L-2x}{L}g$

${a}_{1}=-{a}_{2}$

La aceleración del centro de masa sería $\dst{a}_{cm}=\frac{1}{M}({m}_{1}{a}_{1}+{m}_{2}{a}_{2})=\frac{{a}_{2}}{M}({m}_{2}-{m}_{1})=\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}\cdot\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}g=-{\left(\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}\right)}^{2}g$

$\dst{a}_{cm}=-{\left( \frac{L-2x}{L} \right)}^{2}g$

Este resultado no coincide con el que me da el libro. El libro da como resultado lo que sería mi ${a}_{2}$. ¿Interpreté mal el problema? Porque como estoy estudiando sistema de partículas se supone que la aceleración que me pide es la del centro de masa y no de la parte "x" de la cadena. De todas formas quiero saber si es correcto mi cálculo de ${a}_{cm}$, o si había una mejor forma de hacerlo.

[Al2000]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

Tal vez el libro te está indicando la aceleración de un punto sobre la cadena, no la del centro de masa. Nota que ambas respuestas coinciden en los casos extremos $x = L/2$ (cadena en equilibrio estático) y $x = L$ (la cadena cae libremente). En los casos intermedios $L/2 < x \leqslant L$ el centro de masa de la cadena baja mas lentamente que algún eslabón de la cadena pues mientras una parte baja, la otra sube.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

Solo una acotación si $m_1$ es la masa de $L-x$ cuando $x<L/2$ es sistema se acelera hacia la izquierda o para el lado de $m_1$ por lo que has asignado el valor $a_2$ al que es el de $a_1$ por ello [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] } te queda negativa con respecto a $g$ que es ilógico ...en formulas

$a_1=-a_2=g\dfrac{L-2x}{L}$

Y
$a_{cm}=g\left(\dfrac{L-2x}{L}\right)^2$

[Al2000]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

Disiento de tu opinión, creo que los resultados de Violetta son correctos. Si ella estableció que "Tomo como semieje positivo hacia arriba", entonces $m_2$, de longitud $x$, tiene una aceleración tal cual la expresó, y que resulta positiva (hacia arriba) si $x < L/2$ o negativa si $x > L/2$, como debe ser de acuerdo con su criterio de signos.

De nuevo, y de acuerdo con su criterio de signos, la aceleración del centro de masa resulta siempre negativa, independientemente del valor de $x$, como debe ser, pues la cadena debe caer sea por un lado o por el otro,

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

Entiendo el punto al pero si es sistema de referencia es positivo hacia arriba cuando $m_1>m_2$ a_1 debe ser negativa de acuerdo a la formula que usó le queda con el signo contrario.es decir

$a_1=-\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g$
Es positivo cuando afirmas que debe ser negativo...
Por eso digo que con g positiva hacia abajo si x es pequeña o m_1 grande con respecto al lado 2 la aceleración del lado de mas masa debe resultar positiva.
En efecto
$\cancel{m_1a_1+m_2(-a_1)=(m_1+m_2)g}$
$a_1=-a_2$
Cumplen con ello y resulta una aceleración del cm positiva como es de esperar independientemente de como sean las otras aceleraciones.
Disculpa que insista pero no veo error en mi planteo .Saludos

[Violetta]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

Hola Richard. No logro entenderte completamente pero voy responderte algunos puntos.

cuando a_1 debe ser negativa de acuerdo a la formula que uso le queda con el signo contrario.es decir


Es positivo cuando afirmas que debe ser negativo...

${a}_{1}$ efectivamente es negativa cuando

$m_1a_1+m_2(-a_1)=(m_1+m_2)g$

Tomando como semieje positivo hacia arriba, la ecuación original sería:

$m_1a_1+m_1g=m_2a_2+m_2g$ reemplazando $a_2=-a_1$ quedaría

$m_1a_1+m_2a_1=(m_2-m_1)g$

que es la misma que escribiste al principio (la primera que cité)

Cumplen con ello y resulta una aceleración del cm positiva como es de esperar independientemente de como sean las otras aceleraciones.

La aceleración del centro de masa siempre va a ser negativa, ya que la masa mas grande es la que siempre cae hacia abajo. Recuerda que hacia abajo es negativo y hacia arriba positivo.

[Richard R Richard]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

${a}_{1}$ efectivamente es negativa cuando

Al2000 dice Si ella estableció que "Tomo como semieje positivo hacia arriba",

lo que quiero decirte es que $g$ en ese sistema de referencia es negativa, (va hacia abajo cuando dicen que es positivo es hacia arriba)...por lo tanto $a_1$ en esa formula te queda positiva cuando no es cierto....

según tu expresas al iniciar el hilo

$\dst{a}_{2}=-{a}_{1}=\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}g=\frac{L-2x}{L}g$

es decir $a_1$ te queda con el signo contrario a $g$ lo cual no es cierto dado que $m_1>m_2$ o bien $L-x>x$ como hemos supuesto.

Lo claro es que la aceleracion de la cadena mas larga tiene que llevar el mismo signo que $g$ y si $m_1$ en mayor que $m_2$ la formula anterior dice todo lo contrario, pero no la que yo puse


$a_1=-a_2=g\dfrac{L-2x}{L}$

y en

$m_1a_1+m_2(-a_1)=(m_1+m_2)g$

creo que la pifie muy mal ahora que la veo ...lo siento



debi decir que equilibrio se da así

$m_1(g-a_1)=m_2(g-a_2)$

de donde

$(m_1-m_2)g=a_1m_1-a_2m_2=a_1(m_1+m_2)$

$a_1=g\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}$

y de alli

$a_1=g\dfrac{L-x-x}{L-x+x}=g\dfrac{L-2x}{L}$

que tiene el mismo signo que $g$

y de alli sacas que

$a_{cm}=g\left(\dfrac{L-2x}{L}\right)^2$

que también tiene que conservar el mismo signo que $g$

La aceleración del centro de masa siempre va a ser negativa, ya que la masa mas grande es la que siempre cae hacia abajo. Recuerda que hacia abajo es negativo y hacia arriba positivo.

de nuevo si g es negativa en ese sistema de referencia entonces te quedara positiva si usas ${a}_{cm}=-{\left( \frac{L-2x}{L} \right)}^{2}g$ , creo que la deducción correcta es la que hice antes.

[Violetta]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

Lo que pasa es que para mi $g$ es la magnitud de la aceleración de la gravedad, no un vector. El vector sería la fuerza peso $\vec{w}=\left< -mg \right>$ (un vector unidimensional en este caso). Entonces aplicando la segunda Ley de Newton:

$\vec{T}+\vec{{w}_{1}}={m}_{1}\vec{{a}_{1}}$

$\vec{T}+\vec{{w}_{2}}={m}_{2}\vec{{a}_{2}}$

Por eso no concordamos

[Richard R Richard]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

$\vec{T}+\vec{{w}_{1}}={m}_{1}\vec{{a}_{1}}$

$\vec{T}+\vec{{w}_{1}}={m}_{2}\vec{{a}_{2}}$

en alguna hay algun subindice equivocado o no entiendo que es lo que me quieres explicar.

supongo que es

$\vec{T}+\vec{{w}_{1}}={m}_{1}\vec{{a}_{1}}$

$\vec{T}+\vec{{w}_{2}}={m}_{2}\vec{{a}_{2}}$

así

$\vec{T}={m}_{1}\vec{{a}_{1}}-\vec{{w}_{1}}$

$\vec{T}={m}_{2}\vec{{a}_{2}}-\vec{{w}_{2}}$

igualando y usando $\vec{{a}_{1}}=-\vec{{a}_{2}}$

${m}_{1}\vec{{a}_{1}}-\vec{{w}_{1}}={m}_{2}\vec{{a}_{2}}-\vec{{w}_{2}} =-{m}_{2}\vec{{a}_{1}}-\vec{{w}_{2}} <br />$

$({m}_{1}+{m}_{2})\vec{{a}_{1}}= \vec{{w}_{1}}-\vec{{w}_{2}}=\vec g (m_1-m_2)$

$\vec{{a}_{1}}= \vec g \dfrac{(m_1-m_2)}{({m}_{1}+{m}_{2})}$

ves que es $\vec{{a}_{1}}$ el que tiene la misma dirección y sentido que $\vec{g}$ si $m_1>m_2$

[Violetta]

Re: Aceleración de centro de masa de cadena

Es que $g$ no es el vector! o por lo menos yo no lo tomo como vector, sino como componente. Los vectores son $\vec{{w}_{1}}=\left< -{m}_{1}g \right>$ y $\vec{{w}_{2}}=\left< -{m}_{2}g \right>$ , $g$ es una constante positiva. Por eso nos dan signos distintos, pero pienso que tu planteamiento es correcto aclarando que $\vec{g}$ es un vector apuntando hacia el lado negativo, así como el mío con $g$ como constante positiva siendo parte de la componente del vector peso.

Saludos