momento lineal de plataforma y personas

[arivasm]

Usaré el criterio de signos que manejáis vosotros.

En el primer salto tenemos una plataforma de 1000 kg y 750 kg de personas, todo ello en reposo. Luego el momento lineal es nulo. Como salta uno a 5 m/s, adquiere un momento de 5·75 = 375 kg·m/s, luego la plataforma con las nueve personas (1675 kg) adquieren una velocidad de -375/1675 = -0,22388 m/s [luego aquí ya aparece la primera discrepancia con Richard]

En el siguiente salto, tendremos que el momento lineal antes del mismo es, por supuesto -375 kg·m/s. El saltador lo hará con una velocidad de 5-0,22388 = 4,77612 m/s. Por tanto, el cálculo de la nueva velocidad será: -375 = 75·4,77612 + 1600 · v. El momento lineal de la plataforma tras el salto vale -375-75·4,77612 = -733,20896 kg·m/s y entonces v = -733,20896 / 1600 = -0,45826 m/s [primera discrepancia con JCB].

En el tercer salto, la velocidad del saltador será 5-0,45826 = 4,54174 m/s. Luego ahora tenemos que -733,20896 = 75 · 4,54174 + 1525 · v. De aquí v = 0,70416 m/s [obviamente, aquí la discrepancia con vosotros es ya mayor].

Los cálculos que aparecen en la tabla que puse los hice de esa manera.

[Richard R Richard]

Usaré el criterio de signos que manejáis vosotros.

En el primer salto tenemos una plataforma de 1000 kg y 750 kg de personas, todo ello en reposo. Luego el momento lineal es nulo. Como salta uno a 5 m/s, adquiere un momento de 5·75 = 375 kg·m/s, luego la plataforma con las nueve personas (1675 kg) adquieren una velocidad de -375/1675 = -0,22388 m/s [luego aquí ya aparece la primera discrepancia con Richard]

Hola Antonio , como va? yo veo que cuando salta no lo hace a 5m/s respecto del piso, sino que son 5m/s respecto de la plataforma. luego el momento hacia ese lado es menor y la velocidad del plataforma menor.

[arivasm]

Me he dado cuenta de que es posible que haya añadido ruido con mi mensaje #10. Como he escrito en el añadido que he puesto, entonces yo tenía en mente advertir a JCB que debía tener en cuenta el carácter relativo de las velocidades de los saltadores y lo que puse hacía referencia a módulo, y no a componentes. Es posible que eso haya llevado a la discrepancia con él, y por eso le han salido velocidades cada vez mayores.

[arivasm]

Hola Antonio , como va? yo veo que cuando salta no lo hace a 5m/s respecto del piso, sino que son 5m/s respecto de la plataforma. luego el momento hacia ese lado es menor y la velocidad del plataforma menor.

Veo que has respondido mientras escribía mi respuesta.

Por lo que observo, hay una discrepancia sobre cómo manejar la información de que la persona salta a cierta velocidad, digamos los 5 m/s de JCB, respecto de la plataforma. Yo lo he interpretado como que es despreciable el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad, como si inmediatamente adquiriese los 5 m/s sobre la plataforma y simplemente al llegar al final salta. En cambio, tú lo has planteado como que acelera sobre la plataforma, de manera que cuando llega al final de la misma tiene dicha velocidad relativa.

Desde luego, encuentro más realista tu interpretación.

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Efectivamente, arivasm, la expresión que indiqué en mi mensaje # 11, contenía un poco de ruido . En lugar de $v-v_1$, tendría que haber considerado $v+v_1$. De esta manera, habría llegado a la expresión

$v_i=\dfrac{(M-im)v_{i-1}-mv}{M-im}$, válida para $i\geq2$.

Haciendo esta modificación, los nuevos valores que obtengo, coinciden con los tuyos, fantástico. A este criterio le llamo 1 (por orden de aparición, simplemente).

Por otra parte, y utilizando el criterio (le llamo 2) empleado por Richard, llego a la expresión

$v_i=\dfrac{(M+(1-i)m)v_{i-1}-mv}{M+(1-i)m}$, también válida para $i\geq2$. Los valores que obtengo, coinciden igualmente con los de Richard, fenomenal.

Parece, entonces, que comparando ambos criterios, las diferencias no son excesivas (en porcentaje, desde un -4,29 % hasta un -5,58 %, respecto a los valores absolutos).

2) Ahora analicemos el caso en que todos los ocupantes saltan a la vez.

En el caso de que no me haya equivocado nuevamente,

Criterio 1: $0=nmv+(M-nm)v_f$,

$v_f=\dfrac{-nmv}{M-nm}=-3,75\ m/s$.

Criterio 2: $0=nm(v+v_f)+(M-nm)v_f$,

$v_f=\dfrac{-nmv}{M}=-2,14\ m/s$.

Caramba, aquí podríamos decir que la diferencia es significativa, un -42,86 % (respecto a los valores absolutos).

Entonces, ¿ qué criterio es el que se ajusta más a la realidad ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[arivasm]

Pues sí que cambia el sentido del problema! No encuentro ningún fallo en lo que escribes y, por tanto, tampoco en lo escrito por Richard. Dejo para otro momento (a ver si soy capaz de hacerlo) la interpretación física de este segundo caso. Desde luego, está claro que ahora la velocidad de la plataforma resulta ser mayor con los saltadores de uno en uno que si lo hacen todos de golpe.

Considero que es más adecuado el punto de vista de Richard: las personas corren sobre la plataforma, partiendo del reposo relativo a ésta, hasta alcanzar una velocidad $v$ relativa a la misma. Durante ese proceso la plataforma es acelerada y por eso cuando apliquemos la conservación del momento lineal la velocidad de los saltadores, con la notación de JCB, no es $v+v_i$ (siendo $i$ el número de saltadores que ya lo han hecho), sino $v+v_{i+1}$. Es decir, la velocidad relativa lo es respecto de la que después del salto posee la plataforma, no respecto de la que tenía antes del mismo. Cuando el saltador abandona la plataforma su velocidad es $v$ respecto de la que ésta tiene en ese instante. Un observador ligado a la plataforma los verá correr con velocidad $v$ al final de su carrera, no al principio.

Matemáticamente el cambio es, como dices, pequeño. Físicamente es muy grande, al menos en lo que se refiere a la comparación con el caso "todos a la vez". Me sorprende la enorme diferencia. De hecho, no acabo de ver por qué si el tiempo de aceleración se hace nulo no se obtiene el mismo resultado...

[Richard R Richard]

Yo lo he pensado en analogía al clásico ejemplo del bote con el pescador, que cuando va hacia un extremo del bote el CM cambia de posición, y el bote se mueve.En ete caso los pescadores saltan al agua.

tenemos claro que cuando la primer persona comienza acorrer por la plataforma, tiene que conservarse la posición del CM, y por analogía llevamos esta idea ala conservación del momento lineal, en un sistema de referencia externo a la plataforma.

$P(0)=0$

cuando una persona se mueve con velocidad relativa v a la plataforma , sabemos que la fuerza que hace sobre la plataforma es una fuerza interna por lo tanto se conserva el momento lineal

así la persona se mueve con velocidad $v_1+v$ respecto de piso siendo $v_1$ la velocidad de la plataforma

el momento lineal de la persona al saltar es del mismo modulo pero de signo contrario al momento de la plataforma con los $n-1$ pasajeros restantes.

$P(0)=w(v_1+v)+(n-1)wv_1+Mv_1$

luego cuando la segunda persona quiere lanzarse la plataforma ya tiene movimiento respecto del piso

$P(1)=(n-1)wv_1+Mv_1=v_1((n-1)w+M)$

la velocidad relativa de la person respecto de la plataforma sera$v$ y respecto del piso sera $v_2+v$ siendo ahora $v_2$ la velocidad de la plataforma


$P(1)=v_1((n-1)w+M)=w(v_2+v)+(n-2)wv_2+Mv_2$

de donde sacamos $v_2$

generalizando$v_{m-1}((n-m+1)w+M)=w(v_m+v)+(n-m)wv_m+Mv_m=v_m(w(n-m+1)+M)+wv$


$\dfrac{v_{m-1}((n-m+1)w+M)-wv}{w(n-m+1)+M}=v_m$



$v_{m-1}-\dfrac{v}{(n-m+1) +\frac Mw}=v_m$

dando

0	0
1	-0,21428571
2	-0,43816631
3	-0,67254131
4	-0,91844295
5	-1,17706364
6	-1,44979091
7	-1,73825245
8	-2,0443749
9	-2,37046186
10	-2,71929907

comparado con que salten todos juntos

$0=nw({v}_{p}+{v})+M{v}_{p}=\dfrac{10\cdot 75\cdot 5}{10\cdot 75+1000}<br />$

${v}_{p}=\dfrac{-nwv}{nw+M}=v\dfrac{-x}{x+1}=-2.14m/s$
Editado esta mal la formula del grafico
como no era 3.75 ese valor.... ah ya veo ... no estaba tan equivocado al principio...

si esto no cuaja es porque estamos violando el principio de relatividad galileana ... creo que ya cometi varias veces ese error en el pasado justamente con el tema del cohete

ejemplo

Un error de concepto frecuente es que un sistema de masa variable puede describirse como la derivada respecto del tiempo de el producto de la masa con la velocidad, ya que la fuerza es el cambio en el momento respecto del tiempo. Pero si bien la fuerza sigue siendo el cambio de momento, el momento ya no puede describirse como el producto de masa con la velocidad, sino que se agrega un término nuevo (ver abajo). Además, estos sistemas, como el del cohete que pierde combustible y eyecta gases, no son sistemas cerrados y no se puede tratar a la masa como una variable en función del tiempo. Por lo tanto, la siguiente fórmula no es correcta:

$\mathbf{F}_\mathrm{net} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[m(t)\mathbf{v}(t)\big] = m(t) \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} + \mathbf{v}(t) \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} \qquad \mathrm{(Incorrecto)}$

La falacia de esta fórmula puede verse en que no respeta la Invariancia galileana la cual sostiene que un objeto de masa variable con '''F'''&nbsp;= 0 en un marco de referencia, tendrá '''F'''&nbsp;≠ 0 en otro.

aquí no tengo claro si tenemos o no ese mismo problema https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_masa_variable

en el límite continuo hallaríamos que $v_n=-v\ln(1+\dfrac{nw}{M})=-2.79m/s$ editado corregido

creo que eso justifica lanzar cohetes y no cañonazos algo debe estar mal en ese limite de ln(1+x) no el logaritmo sino con lo que se lo compara.

[arivasm]

Precisamente es eso lo que está haciendo que me coma el coco: cómo afecta esto a la ecuación de Tsiolkovski.

generalizando $v_{m-1}((n-m+1)w+M)=w(v_m+v)+(n-m)wv_m+Mv_m=v_m(w(n-m+1)+M)+wv$

Llamemos $M_p=M+(n-m)w$, que es la masa de la plataforma antes de que salte el siguiente "saltador". La ecuación es

$v_{m-1}(w+M_p)=w(v_m+v)+M_pv_m$

Pensemos en el caso particular $w \ll W$. Ahora tenemos $v_{m-1}M_p=w(v_m+v)+M_pv_m$, es decir $M_p\Delta v=-w(v_m+v)$. Usando la notación de la Wikipedia (y tengamos en cuenta que $\vec F_{ext}=\vec 0$), la equivalencia con el cohete sería $m\dd\vec v=\dd m(\vec v+\vec v_{rel})$, es decir,

$\dst m\dfrac{\dd\vec v}{\dd t}=\dfrac{\dd m}{\dd t}(\vec v+\vec v_{rel})$

en lugar de

$\dst m\dfrac{\dd\vec v}{\dd t}=\dfrac{\dd m}{\dd t}\vec v_{rel}$

Como diríamos por mi tierra, "ahí se va Tsiolkovski al carallo", pues la ecuación del cohete no sería (aclararé que, como se suele hacer en cohetería, denoto módulos, no componentes) $\dst \Delta v=v-v_0=v_{rel}\ln\frac{m_0}{m}$, como se sigue de la segunda, sino $\dst \dfrac{v-v_{rel}}{v_0-v_{rel}}=\dfrac{m}{m_0}$
Y no acabo de ver por qué...

[arivasm]

Una vez más he introducido ruido en el hilo...

Mi metedura de pata es interesante, pues alerta sobre los riesgos en los pasos al límite. El que se "iba al carallo" no era Tsiolkovski, sino yo:

Llamemos $M_p=M+(n-m)w$, que es la masa de la plataforma antes de que salte el siguiente "saltador". La ecuación es

$v_{m-1}(w+M_p)=w(v_m+v)+M_pv_m$

Hasta aquí todo iba bien. Significaba "Richard tiene razón"

Obsérvese la sutileza de la equivocación (en rojo)

Pensemos en el caso particular $w \ll W$. Ahora tenemos $v_{m-1}M_p=w(v_m+v)+M_pv_m$, es decir $M_p\Delta v=-w(v_m+v)$. Usando la notación de la Wikipedia (y tengamos en cuenta que $\vec F_{ext}=\vec 0$), la equivalencia con el cohete sería $m\dd\vec v=\dd m(\vec v+\vec v_{rel})$, es decir,

$\dst m\dfrac{\dd\vec v}{\dd t}=\dfrac{\dd m}{\dd t}(\vec v+\vec v_{rel})$

Antes de hacer esa aproximación debí hacer este otro paso: la ecuación de Richard también es

$v_{m-1}(w+M_p)=wv+(w+M_p)v_m$

de manera que si $w\ll M_p$ (ahora sí) $\Delta v_{m}M_p=-wv$ y en términos de la Wikipedia, $\dst m\dfrac{\dd\vec v}{\dd t}=\dfrac{\dd m}{\dd t}\vec v_{rel}$

En resumen. El mensaje correcto es el #15 de Richard (con la confirmación de JCB en el #20), salvo la corrección para el caso "todos a la vez" que hace en el #22.

Dejo para otro día (o casi mejor que lo haga otro, porque está visto que no ando fino) el depurar el error en la interpretación física que hice en el #12, es decir, por qué la velocidad final es mayor en el modo "de uno en uno" que en el "todos a la vez". Por cierto, sí es verdad que un cohete alcanza mayor velocidad emitiendo gases "poco a poco" que en un "cañonazo".

Siento haber "ensuciado" el hilo...