Secundaria velocidad de la sombra de un cuerpo en caida libre

[Civiloco]

Buenas tardes, un saludo cordial a cada uno de Uds. y quiero compatir un ejercicio que a la letra dice así: "En techo de una habitación de 3m de altura, se tiene un foco encendido; y en el piso, a 0,5 m de la proyección vertical del foco, se tiene una esferilla que es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 8 m/s. Halle la velocidad de la sombra que proyecta la esferilla sobre el piso en el instante t = 0,5 s (g=10m/s²)". Bueno yo lo hice aplicando la derivada a la ecuación de la distancia que avanza la sombra en función del tiempo, mi duda es, si habría otra forma sin usar la derivada. Agradezco de antemano sus opiniones:
\text{d=}\frac{4t-\frac{5}{2}{t}^{2}}{5{t}^{2}-8t+3}

[Richard R Richard]

Re: velocidad de la sombra de un cuerpo en caida libre

H altura total
h(t)altura esfera
d separacion de la vertical de la esfera
x posicion de la sombra

por trigonometria

$\tan \alpha=\dfrac{H-h(t)}d=\cancel{\dfrac{x-d}{h(t)}}=\dfrac{h(t)}{x-d}$

$\cancel{x=d+h(t)\dfrac{H-h(t)}d}$

donde

$h(t)=v_it-\frac 12 g t^2$

luego la velocidad de la sombra es

$v_s=\dfrac{\partial x}{\partial t}=\cancel{\dfrac{\partial \left [d+\left (v_it-\frac 12 g t^2\right )\left (\dfrac{H-v_it+\frac 12 g t^2}d\right )\right ]}{\partial t}}$

[Alriga]

Re: velocidad de la sombra de un cuerpo en caida libre

Civiloco, recuerda que para que las fórmulas en LaTeX se vean correctamente hay que encerrarlas entre los corchetes

[TEX]\text{d=}\frac{4t-\frac{5}{2}{t}^{2}}{5{t}^{2}-8t+3}[/TEX], entonces se ve así:

$\text{d=}\frac{4t-\frac{5}{2}{t}^{2}}{5{t}^{2}-8t+3}$

Y si delante pones el comando \dst así: [TEX]\dst \text{d=}\frac{4t-\frac{5}{2}{t}^{2}}{5{t}^{2}-8t+3}[/TEX] se ve así:

$\dst \text{d=}\frac{4t-\frac{5}{2}{t}^{2}}{5{t}^{2}-8t+3}$

Si te interesa, hay un tutorial de LaTeX aquí:

http://forum.lawebdefisica.com/threads/10266-C%C3%B3mo-introducir-ecuaciones-en-los-mensajes

Saludos.

[Civiloco]

Re: velocidad de la sombra de un cuerpo en caida libre

Hola amigo Richard, gracias por apoyarme, pero, al derivar la expresion de la velocidad de la sombra que deduces y al reemplazar para t = 0,5 s, me resulta -15m/s y al derivar la expresión que deduje me sale 72 m/s, no sé en que estoy errando, quisiera tu opinión y gracias de antemano, un gran saludo.
$\text{d=}\frac{4t-\frac{5}{2}{t}^{2}}{5{t}^{2}-8t+3}$

[Alriga]

Re: velocidad de la sombra de un cuerpo en caida libre



Si "x" es la distancia desde el suelo debajo del foco, hasta el punto de la sombra de la esfera en el suelo, hay un gazapo en el cálculo de la tangente:

$\tan \alpha=\dfrac{H-h(t)}d=\cancel{\dfrac{x-d}{h(t)}}$

Ha de ser o bien:

$$\tan \alpha=\dfrac{H-h(t)}d=\dfrac{h(t)}{x-d}$$

O bien

$$\tan \alpha=\dfrac H x=\dfrac{h(t)}{x-d}$$

Las dos expresiones son correctas. Si usamos (2) que es más sencilla

$x=\dfrac{d \ H}{H-h}$

$h(t)=v_it-\dfrac 1 2 g t^2$

$x(t)=\dfrac{d \ H}{H-v_i t+\dfrac 1 2 g t^2}$

Y finalmente

$v_s(t)=\dfrac {\dd}{\dd t} \ x(t)$

$v_s(t)=\dfrac{(v_i-g t) \ d \ H}{\left ( H-v_i t+\dfrac 1 2 g t^2 \right )^2}$

Poniendo los valores del enunciado, me sale que para t=0.5 s la velocidad es v=72 m/s

La expresión que tú has obtenido:

$X(t)=\dfrac{4t-\dfrac{5}{2}{t}^{2}}{5{t}^{2}-8t+3}$

también es correcta, pero en ella la distancia "$X$" es la distancia en horizontal desde el punto de lanzamiento de la esfera hasta el punto de sombra en el suelo, no desde la vertical del foco hasta el punto de sombra, como he usado yo. Evidentemente, tan correcto es hacerlo de una forma como de la otra.

Y evidentemente, cuando derivas da la misma velocidad, puesto que "$X$" y "$x$" solo difieren en una constante $x=X+d$

Saludos.