2o ciclo Movimiento Armonico de una partícula que pasa por el centro de la tierra

[Joako98]

Hola a todos, necesito ayuda para resolver este problema:

Consideremos a la Tierra como un cuerpo esferico de radio $R = 6,37 \times {10}^{6 } m$ y densidad demasa uniforme $\rho = 5,5 \times {10}^{3 } \frac{kg}{{m}^{3 }}$ . Bajo la acción de la gravedad una partıcula se mueve entrelos extremos de un tunel muy estrecho que atraviesa nuestro planeta entre dos puntos cualesquierade su superficie (no necesariamente pasando por el centro).Despreciando el efecto de la rotación terrestre y cualquier tipo de rozamiento, mostrar queel cuerpo realiza movimiento oscilatorio armonico, y encontrar su frecuencia. Considerar que laaceleracion de la gravedad en la superficie de la tierra es $9,8 \frac{m}{{s}^{2}} .$

He planteado lo siguiente:


$\vec{F} =\begin{pmatrix}0 \\m*\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{g x}-N \\F_{g y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\\frac{G*M_{t}*m}{r^{2}}* \sin \theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\\frac{G*M_{t}*m}{{x_{0}}^{2}+{y(t)}^2}* \frac{y(t)}{\sqrt{{x_{0}}^{2}+{y(t)}^2}} \end{pmatrix}$

La componente x de la fuerza no la tome en cuenta en mi analisis, por lo que me queda una ecuacion diferencial no lineal, que no se como resolver, pero no es un movimiento armonico de la forma: $m*\frac{d^2x}{dt^2}+c*\frac{dx}{dt}+k*x=0$.
La ecuacion diferencial que describe el movimiento en el eje y es:

$m*\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}=\frac{G*M_{t}*m}{{x_{0}}^{2}+{y(t)}^2}* \frac{y(t)}{\sqrt{{x_{0}}^{2}+{y(t)}^2}}$

[Al2000]

Re: Movimiento Armonico de una partícula que pasa por el centro de la tierra

Tienes un error en el campo gravitacional, usaste el campo en puntos exteriores. Busca (o deduce) cuánto vale el campo en el interior de una esfera y úsalo en tus cálculos.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Joako98]

Re: Movimiento Armonico de una partícula que pasa por el centro de la tierra

Muchas gracias no me habia dado cuenta, ahora lo voy a resolver

[Richard R Richard]

Re: Movimiento Armonico de una partícula que pasa por el centro de la tierra

Problemas similares se han desarrollado antes en el foro por ejemplo...

http://forum.lawebdefisica.com/threa...6066#post26066

Saludos