1r ciclo Ecuación de órbita de fuerza central

[Fortuna]

Buenas tardes, no sabía si poner esta cuestión en matemáticas, pues hay que resolver una ecuación diferencial. Pero como el temas va de fuerzas, lo dejo aquí.

Tenemos la expresión de una fuerza central:

$\vec{F}=\dfrac{GMm}{r^2 +\alpha^2}\vec{u}_r$

Donde $M \gg m$ y $\alpha$ es un parámetro fijo, donde se debe suponer tanto que (1)$r>>\alpha$ como que (2)$r<<\alpha$ o que (3)$r \approx \alpha$


Necesito calcular o bien las ecuaciones del movimiento o bien las ecuaciones de la órbita.

Intuitivamente se ve si se da (1) estamos en la típica fuerza newtonana, mientras que para (2) tenemos una fuerza constate.

La energía potencial debida a M para unas coordenadas situadas en el centro de M me sale:

$V(r)=GM\dfrac{1}{\alpha}(\arctan(\dfrac{r}{\alpha})-\frac{\pi}{2})$

Aplicando el mismo método que se usa para la dinámica de la fuerza central, utilizando el hecho de que en una fuerza central el momento angular se conserva, llegamos a edo de la órbita:

$-\dfrac{L}{mr(\theta)^2}\left(\dfrac{d^2}{d\theta^2}(\dfrac{1}{r(\theta)})-\dfrac{1}{r(\theta)}\right)=\dfrac{GM}{r(\theta)^2+\alpha^2}$

La ecuación de evolución respecto al tiempo ni la pongo, por la complejidad del potencial.

El tema es que no ten ni idea de como resolverla.

Cualquier ayuda será bien apreciada, aunque hice un curso de E.D.O. hace décadas ya no me acuerdo de nada.

PD. No me contestéis aún porque veo que con los potenciales efectivos se pueden sacar conclusiones.

Un saludo.