2o ciclo Caída deslizando por una cúpula: condición de despegue

[Violetta]

Hola! no se me ocurre como resolver este problema

Un niño montado sobre una semiesfera de hielo empieza a deslizarse (sin fricción) desde el reposo. Debo calcular el punto P donde el niño deja de tener contacto con la superficie.



Solo logro imaginarme que la velocidad en el punto P es tal que la trayectoria que seguiría como si fuera un proyectil, o sea, una parábola, debe estar por encima de la curva de la circunferencia. No encuentro qué tiene de especial la velocidad en ese momento

[Visitante]

Re: niño resbala sobre esfera

Hola,

Tienes que buscar el punto donde la fuerza normal se anula (es la condición para que se separen)

Un saludo,

[Alriga]

Re: niño resbala sobre esfera

Este problema del punto de despegue de un objeto que baja deslizando por una semiesfera ha salido varias veces en el foro, mira por ejemplo aquí: http://forum.lawebdefisica.com/threa...813#post156813

Saludos.

[Violetta]

Re: niño resbala sobre esfera

Gracias a los dos! justo lo estaba resolviendo pero con un pequeño error jeje

Una pregunta, solo por curiosidad, si la curva no fuese una circunferencia (en este momento me estoy imaginando las curvas de las montañas rusas), este problema ¿cómo se resolvería?

[Alriga]

Re: Caída deslizando por una cúpula: condición de despegue

... Una pregunta, solo por curiosidad, si la curva no fuese una circunferencia (en este momento me estoy imaginando las curvas de las montañas rusas), este problema cómo se resolvería?

Vamos a intentar resolver el problema para una curva general dada por su ecuación en cartesianas y=y(x)

Tal como se observa en la figura, se descompone el peso en una componente tangencial y otra normal a la curva y=y(x) En la dirección de la normal, la suma de fuerzas será igual al producto de la masa por la aceleración normal

$m g \cos A - N=m \ \dfrac{v^2}{\rho}$

En donde $\rho$ es el radio de curvatura en ese punto. En el caso de la circunferencia, el radio de curvatura era constante e igual en todos los puntos al radio de la circunferencia. Pero ahora el radio de curvatura no será constante, sino que tendrá un valor diferente en cada punto.

El cuerpo que cae “despegará” de la curva cuando N=0 lo que implica que entonces se cumplirá:

$v^2=\rho g \cos A$

Ahora utilizaremos la conservación de la energía: la diferencia de energía potencial entre el punto más alto y el punto de despegue debe ser igual a la energía cinética en el punto de despegue

$m g \ (y_0 - y)=\dfrac 1 2 m v^2$

$v^2=2 g (y_0-y)$

Eliminando la velocidad y simplificando g:

$$\rho \cos A=2 (y_0-y)$$

La curva de deslizamiento y=y(x) la suponemos continua, derivable y que pasa por el punto (0, $y_0$) Es decir $y(0)=y_0$

Como la pendiente de la recta tangente en un punto de una función es la derivada de la función en ese punto:

$\tan A=y'(x)$

Recordando propiedades trigonométricas:

$\cos A = \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2 A}}$

Sustituyendo:

$$\cos A = \dfrac{1}{\sqrt{1+[y'(x)]^2}}$$

La expresión del radio de curvatura de una curva en coordenadas cartesianas y=y(x) es:

$$\rho (x)=\dfrac{\Big ( 1+[y'(x)]^2 \Big )^{3/2}}{|y''(x)|}$$

Sustituyendo (2) y (3) en (1) y operando se obtiene

$$\boxed{1+[y'(x)]^2-2 \ [y_0-y(x)] \cdot |y''(x)|=0}$$

Es una ecuación en la que la única incógnita es la “x” del punto de despegue, y que sólo tendrá solución si la curva tiene suficiente pendiente para que el despegue se produzca.

Para comprobar que funciona, vamos a aplicarla al caso de la circunferencia de radio 1

CIRCUNFERENCIA R=1

$x^2+y^2=1$

$y(x)=\sqrt{1-x^2}$

$y_0=y(0)=1$

$y'(x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y''(x)=-\dfrac{1}{(1-x^2)^{3/2}}$

Sustituyendo en la ecuación (4)

$1+\dfrac{x^2}{1-x^2}-2(1-\sqrt{1-x^2}) \cdot \dfrac{1}{(1-x^2)^{3/2}}=0$

$\dfrac{1}{1-x^2}-2(1-\sqrt{1-x^2}) \cdot \dfrac{1}{(1-x^2)^{3/2}}=0$

Haciendo el cambio de variable

$1-x^2=u$

Y operando, se obtiene

$3 \cdot \sqrt u = 2$

$u=\dfrac 4 9$

Deshaciendo el cambio de variable

$x=\dfrac{\sqrt 5}3=0.745356$

Con ese valor de x para el punto de despegue, el ángulo "punto de despegue-centro de la circunferencia-eje de abcisas" es:

$\phi=\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 5}3 = 0.7297 \ rad = 41.81^{\circ}$

Que es el mismo resultado que habíamos obtenido aquí:

Objeto que cae sobre una semiesfera

Saludos.