1r ciclo La Luna y el período de rotación de la Tierra

[arivasm]

Ayer mismo ha terminado mi participación como vocal de un tribunal de oposiciones al cuerpo de profesores de educación secundaria de Física y Química en Galicia. Antes de nada, mi sincera enhorabuena para quienes finalmente hayan superado el concurso-oposición y mis ánimos para quienes no hayan obtenido un resultado positivo.

El caso es que al comienzo del proceso se nos encargó a cada miembro que propusiésemos dos problemas, uno de Física y otro de Química. El que propuse de Física fue uno de los seleccionados, concretamente el que abría el examen de problemas. Al final tuve la mala honra de que resultó ser el que menos puntuación proporcionó a los opositores, pues ninguno de los casi 600 obtuvo la puntuación completa del mismo.

Como ya tengo el permiso para hacerlo público quiero hacerlo aquí por dos motivos. El primero, porque la idea se me ocurrió a partir de algún hilo del foro en el que se trató la cuestión y en el que había participado (más tarde me enteré de que uno parecido había formado parte de unas olimpiadas de Física). El segundo motivo es porque aunque he visto alguna aproximación al mismo (los enunciados se guardaron con los exámenes, con lo que los opositores no pudieron llevarlos consigo) prefiero que se conozca en su integridad y no por el recuerdo más o menos vago de quienes debieron luchar con él.

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El enunciado era éste:

"[FONT=book antiqua]Las medidas realizadas sobre la distancia Tierra-Luna muestran que está aumentando a razón de 3,8 cm/año.

a) Teniendo en cuenta que actualmente es de 384 400 km, determine cuánto cambiará el período de rotación terrestre en un millón de años, si el ritmo actual de variación se mantiene constante.

b) Puesto que la causa de ese alejamiento son las mareas, calcule la cantidad de energía mecánica que actualmente se disipa diariamente debido a las mismas.

En la realización de los cálculos considere que el eje de rotación terrestre es perpendicular al plano de la órbita lunar, maneje esta última como si fuese circular, omita los cambios que se puedan producir en la rotación de la Luna alrededor de sí misma, y trate la Tierra como si fuese una esfera perfecta y homogénea, de radio 6370 km y masa $\notcien{5,98}{24}\rm kg$. Además, prescinda de toda influencia exterior al sistema, como puede ser la debida al Sol.

Constante de gravitación, $G = \notcien{6,674}{-11}\rm m^3 kg^{-1} s^{-2}$. Masa de la Luna: $\notcien{7,35}{22}\rm kg$.[/FONT]"

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Junto con el enunciado había que proporcionar la solución correspondiente. Ésta es esencialmente la que propuse:

a) En las condiciones del enunciado el sistema Tierra-Luna es aislado, por lo que se conservará el momento angular respecto del centro de masa del sistema. Como la masa de la Luna es el 1,2% de la del sistema, emplearemos la aproximación de éste es coincidente con el centro de la Tierra, de modo que se conservará el momento angular respecto de este punto. Por otra parte, ello equivale a aproximar la masa reducida del sistema con la masa de la Luna.

Empleando el subíndice T para referirse a la Tierra y L para la Luna, llamando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] a la velocidad angular de la Tierra, $v$ a la velocidad orbital de la Luna y $r$ a la distancia Tierra-Luna, tenemos que el momento angular del sistema será, dado que la Tierra se maneja como si fuese una esfera homogénea y que se ignora la rotación de la Luna (o que se considera que el término correspondiente es constante),

$$L =\frac{2}{5}M_TR_T^2\Omega+M_L v r$$

donde el primer sumando es el correspondiente al de una esfera homogénea (momento de inercia $I=\frac{2}{5}M_TR_T^2$) en rotación alrededor de su eje, y el segundo al término orbital de la Luna.

Como estamos suponiendo que la órbita es circular, la velocidad orbital de la Luna depende de $r$ a través de

$$v\approx\sqrt{G\frac{M_T}{r}}$$

cuyo valor actual, con los datos del enunciado, es de 1019 m/s(*).

(*)No es necesario calcular este valor. Sin embargo, como veremos, hay un enfoque en el que resulta útil disponer del mismo.

A partir de este punto es posible continuar el problema por dos vías (obviamente equivalentes): por cálculo directo (que requiere manejar un número adecuado de cifras significativas) o derivando el momento angular.

Cálculo directo

Substituyendo (2) en (1) obtenemos

$$L =\frac{2}{5}M_TR_T^2\Omega+M_L \sqrt{GM_T r}$$

Por tanto, empleando el subíndice 0 para los valores actuales, de la conservación del momento angular tenemos que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y entonces

$$\Omega=\Omega_0-\frac{5}{2}\frac{M_L}{R_T^2}\sqrt{\frac{G}{M_T}}\left(\sqrt{r}-\sqrt{r_0}\right)$$

En un millón de años $r=r_0+\notcien{3,8}{4}\rm m=\notcien{3,84438}{8} m$. Substituyendo este valor y los restantes que aparecen en la expresión tenemos que el termo de variación vale

$\Delta\Omega=\Omega-\Omega_0=-\notcien{1,446}{-8}\rm rad/s$

Como la velocidad angular de rotación terrestre actual es

$\dst \Omega_0=\frac{2\pi}{T_0}=\notcien{7,27221}{-5}\rm rad/s$

tenemos que $\Omega=\notcien{7,27074}{-5}\rm rad/s$, de donde resulta un período de rotación de 86417 s, con lo que la variación es de 17 s.

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He visto que en algún foro se ha puesto en tela de juicio la validez del cálculo al tener que sumar a 384400 km una cantidad de 38 km, por debajo de la precisión del dato anterior. También he visto en él una explicación, que en esencia comparto, por la que ello no es así: nada obliga a tener que operar del modo anterior, ya que la diferencia entre las raíces cuadradas de dos valores muy próximos admite ser determinada mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 para la raíz cuadrada, de manera que

$\dst\sqrt{r}\approx\sqrt{r_0}+\frac{1}{2\sqrt{r_0}}(r-r_0)$

De este modo no se realiza dicha suma, sino el cociente de dos cantidades (3,8 km y la raíz cuadrada de 384400 km).

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b) La energía mecánica del sistema está integrada por dos términos: el de rotación terrestre y el orbital lunar (el de rotación lunar simplemente añadirá, de acuerdo con el enunciado, una constante). Con las suposiciones del enunciado

$$E=\frac{1}{5}M_TR_T^2\Omega^2-\frac{1}{2}G\frac{M_TM_L}{r}$$

Derivando respecto del tiempo

$$\dot E=\frac{2}{5}M_TR_T^2\Omega\dot\Omega+\frac{1}{2}G\frac{M_TM_L}{r^2}\dot r$$

donde la aceleración angular de angular de la rotación terrestre puede calcularse aprovechando el resultado obtenido anteriormente para $\Delta\Omega$

$\dst \dot\Omega\approx \frac{\Delta \Omega}{\Delta t}=\frac{-\notcien{1,466}{-8}\rm rad/s}{365\cdot 86400\cdot 10^6 \rm s}=-\notcien{4,644}{-22}\rm rad/s^2$

Por lo demás, tan sólo hace falta substituir en (6) para encontrar el resultado buscado. De todos modos, aunque non es relevante para la realización del ejercicio es interesante calcular por separado cada uno de los términos de (6). Así, el término de potencia relacionado con la rotación terrestre vale

$\frac{2}{5}M_TR_T^2\Omega\dot\Omega=-\notcien{3,278}{12}\rm W$

mientras que el orbital es

$\frac{1}{2}G\frac{M_TM_L}{r^2}\dot r=\notcien{1,20}{11}\rm W$

Por tanto, la potencia disipada é $\notcien{3,16}{12}\rm W$, y entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Obsérvese que despreciar el término orbital implica un error pequeño, de apenas el 4% (como se verá más adelante, ese término es aproximadamente 1/27 del de rotación de la Tierra). Por último, (aunque no teng relación con la realización del ejercicio) es interesante apreciar que si bien la potencia disipada parece grande, su valor medio para la superficie de la Terra es de unos minúsculos 6 mW/m².

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Alternativa: derivando el momento angular

Derivando (1) respecto del tiempo tenemos que

$$\frac{2}{5}M_TR_T^2\dot\Omega+M_L \dot v r+M_L v \dot r=0$$

Por otra parte, derivado (2) respecto del tiempo

$\dst \dot v=-\frac{1}{2}\sqrt{G\frac{M_T}{r^3}\dot r}=-\frac{1}{2}\frac{v}{r}\dot r$

Llevando esta relación a (7) resulta

$$\frac{2}{5}M_TR_T^2\dot\Omega+\frac{1}{2}M_L v \dot r=0$$

Como

$$\dot\Omega=-\frac{2\pi}{T^2}\dot T$$

encontramos que el ritmo de variación del período de rotación terrestre es

$$\dot T=\frac{5}{8\pi}\frac{M_L v}{M_L R_T^2} T^2 \dot r$$

Substituyendo los valores del enunciado, y la velocidad antes calculada, encontramos que

$\dot T=\notcien{5,52}{-13}$

Si este valor se considera constante, entonces la variación del período de rotación para un intervalo de tiempo $\Delta t$ será

$\Delta T=\dot T\cdot\Delta t=\notcien{5,52}{-13}\cdot\Delta t$

De este modo, haciendo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] resulta $\Delta T=17\rm s$

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El apartado b) puede hacerse igual que se indicó antes, pero también de un modo ligeramente diferente, aprovechando la expresión (8):

b) Partiendo de la energía mecánica del sistema

$$E=\frac{1}{5}M_TR_T^2\Omega^2-\frac{1}{2}G\frac{M_TM_L}{r}$$

derivando respecto del tiempo

$$\dot E=\frac{2}{5}M_TR_T^2\Omega\dot\Omega+\frac{1}{2}G\frac{M_TM_L}{r^2}\dot r$$

Teniendo en cuenta (8) el primer sumando es

$$\frac{2}{5}M_TR_T^2\Omega\dot\Omega=-\frac{1}{2}\Omega M_L v \dot r$$

Respecto del segundo, el módulo de la forza gravitacional podemos escribirlo como

$$G\frac{M_TM_L}{r^2}\approx M_L \frac{v^2}{r}$$

De este modo, (6) toma la forma

$\dst \dot E=-\frac{1}{2}\Omega M_L v \dot r+\frac{1}{2}M_L \frac{v^2}{r}\dot r$

es decir

$$\dot E=-\frac{1}{2}M_L v \dot r\left(\Omega-\frac{v}{r} \right)$$

Como $v/r$ es la velocidad angular del movimiento orbital de la Luna, que es unas 27 veces menor que la velocidad angular de rotación terrestre, $\Omega$, podemos despreciarla, de manera que

$$\dot E \approx - \frac{1}{2} M_L v \dot r \Omega = - \frac{\pi M_L v}{T} \dot r$$

y la cantidad de energía que se disipa en un día será

$-\dot E\cdot T \approx \pi M_L v \dot r = \notcien{2,9}{17}\rm J$

Por supuesto, podemos no realizar la aproximación (14) y hacer la substitución directa en (13), resultando entonces $\notcien{2,7}{17}\rm J$.

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Terminaré expresando aquí, en primer lugar, mi agradecimiento al profesor Ángel Franco Garcia, de la Universidad del País Vasco, que me confirmó la validez de mi resultado para el primer apartado.

En próximas entregas añadiré algún otro apartado que se podría haber abordado (pero que evidentemente no tendría cabida en el tiempo del examen, de 3 h para 8 ejercicios, si bien varios de ellos eran notablemente más sencillos que éste -y alguno de los cuales ya apareció por este foro hace unos días-), por si alguien se anima a seguir jugando con este modelo supersimplificado para el alejamiento de la Luna.

Pero mi despedida por hoy será una anécdota-ejercicio. Un buen día compañeros de otro tribunal me dicen que alguien ha llegado a los 17 s por un camino totalmente diferente: suponer que el momento angular que se conserva es el de la Tierra y que ésta "engorda" al mismo ritmo relativo que el de alejamiento de la Luna. En otras palabras, combinar estas dos expresiones

$\dst \frac{2}{5}M_T R_T^2\Omega = cte$
$\dst \frac{\dot R_T}{R_T}=\frac{\dot r}{r}$

Combínense y ciertamente salen los 17 s de marras. ¿Es una casualidad u obedece a algo general?

[Alriga]

Re: La Luna y el período de rotación de la Tierra

Bonito problema arivasm, enhorabuena.

... mi agradecimiento al profesor Ángel Franco García, de la Universidad del País Vasco, que me confirmó la validez de mi resultado para el primer apartado ...

Vaya, ¡has conocido personalmente a Ángel Franco! para mí es una referencia (más que eso, un ídolo) desde que vi por primera vez su serio y cuidadoso trabajo Física con ordenador, que por cierto está a punto de cumplir ya 20 años.

Fue un pionero en usar Internet para divulgar con altísima calidad y gran nivel pedagógico la Física de bachillerato/1º de carrera. Todos los que amamos la Ciencia lo admiramos muchísimo y le estamos muy agradecidos.

Saludos.

[arivasm]

Re: La Luna y el período de rotación de la Tierra

En este caso me dirigí a él a través de correo electrónico, pero sí, lo conocí personalmente en el año 2000. Aclaro que el motivo del contacto fue porque esta página de su 2ª edición del curso, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/c...s/mareas1.html, que es la primera del mismo que sale en Google al buscar alejamiento de la Luna, no era coincidente con mi resultado. Él me confirmó que era un gazapo en esa edición, que ya estaba corregido (incorporando además otros elementos) en la 3ª edición: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/c...ejamiento.html