1r ciclo demostracion problema de un pendulo

[Diego283]

necesito ayuda con este problema porfavor
[FONT=&amp]La aceleración de la gravedad varía con la posición sobre la Tierra debido a [/FONT][FONT=&amp]su rotación y a que el globo terráqueo no es exactamente esférico. Esto fue [/FONT][FONT=&amp]descubierto por primera vez en el siglo XVII, cuando se observó que un reloj [/FONT][FONT=&amp]pendular, cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo correcto en París, [/FONT][FONT=&amp]perdía alrededor de 90 s por día cerca del Ecuador. [/FONT]
[FONT=&amp]-Demostrar que una pequeña variación Δg produce un pequeño cambio ΔT en el periodo del péndulo dado por: ΔT/T = -Δg/2g. Ayuda: usar Taylor
EDIT: Olvide mencionar una cosa, debo empezar con que T=2pi(L/g)^1/2, pero luego de eso no se en que parte debo utilizar la expansion de Taylor [/FONT]

[Richard R Richard]

Re: demostracion problema de un pendulo

un desarrollo de Taylor consiste en aproximar la función original con una función polinomica calculada como

$f_{(x)}=f_{(x_0)}+f'_{(x_0)}(x-x_0)+f''_{(x_0)}\dfrac {(x-x_0)^2}{2!}+\ldots+f^{(n)}_{(x_0)}\dfrac {(x-x_0)^n}{n!}$

ahora la funcion periodo del pendulo es

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

donde la variable es $g$ derivando aplicando la regla de la cadena...

$T\cong T_o+2\pi\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{L}{g}}}\left(-\dfrac{L}{g^2}\right )(g-g_o)$

$\Delta T=T-T_o\cong2\pi\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{L}{g}}}\left(-\dfrac{L}{g^2}\right )\Delta g$

$\dfrac{\Delta T}T\cong\dfrac{2\pi\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{L}{g}}}\left(-\dfrac{L}{g^2}\right )}{2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}}\Delta g$

simplificando

$\dfrac{\Delta T}T\cong-\dfrac 12\dfrac{\Delta g}{g}$

Lo del signo negativo implica que a medida que incrementas la gravedad el periodo diminuye

[Diego283]

Re: demostracion problema de un pendulo

Muchas gracias!! solo que al derivar era solo g no g^2

[Alriga]

Re: demostracion problema de un pendulo

... solo que al derivar era solo g no g^2

No, repásalo porque Richard ha derivado bien. Lo único que me gustaría añadir a la excelente y correcta explicación de Richard es que yo trataría los subíndices de forma diferente para, en mi opinión, mas claridad.

Dada la expresión de la serie de Taylor

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f''(x_0) \ \dfrac {(x-x_0)^2}{2!}+\ldots+f^{(n}(x_0) \ \dfrac {(x-x_0)^n}{n!}$

La aplicamos a:

$T(g)=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

Evaluada en $g_0$ y tomando los 2 primeros sumandos de la serie:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$T-T_0 \cong -\pi \sqrt{\dfrac {L}{g_0^3}} \ (g-g_0)$

Dividiendo ambos miembros por $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g_0}}$

$\dfrac{T-T_0}{T_0} \cong \dfrac{-\pi \sqrt{\dfrac {L}{g_0^3}}}{2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g_0}}} \ (g-g_0)$

$\dfrac{\Delta T}{T_0} \cong -\dfrac 1 2\dfrac{\Delta g}{g_0}$

Saludos.

[Al2000]

Re: demostracion problema de un pendulo

Es posible hallar la expresión buscada sin usar Taylor y haciendo una sola aproximación. Partiendo de que

$$T = 2 \pi \sqrt {\frac L g}$$

se tiene de inmediato que

$$\frac {\Delta T} T = \frac {T' - T} T = \frac {\dst \frac 1 {\sqrt {g'}} - \frac 1 {\sqrt g}}{\dst \frac 1 {\sqrt {g}}} = \frac {\sqrt g - \sqrt {g'}}{\sqrt {g'}}$$

de donde

$$\frac {\Delta T} T = \frac {\sqrt g - \sqrt {g'}}{\sqrt {g'}} \cdot \frac {\sqrt g + \sqrt {g'}} {\sqrt g + \sqrt {g'}} = \frac {g - g'}{\sqrt {g'}(\sqrt g + \sqrt {g'})}$$

Haciendo la aproximación de que $\sqrt {g'} \approx \sqrt g$ se tiene finalmente que

$$\frac {\Delta T} T = \frac {g - g'}{2 g} = \boxed {- \frac {\Delta g}{2 g}}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$