2o ciclo Problema de estática

[elmecama]

Buenas tardes. Estuve intentando resolver un ejercicio de estática del cuerpo rígido, pero no sé qué hacer para llegar al resultado que pide. Si pudieran darme algún consejo o idea para resolver este tipo de problemas (y este en particular) estaré muy agradecido. Aquí va el ejercicio y lo que he hecho.

Una barra AB de longitud 2l y masa m está apoyada en uno de sus extremos sobre una pared vertical sin rozamiento, y por el otro extremo está sujeta por un hilo f.i.s.p. (flexible, inextensible y sin peso) de longitud 2a que a su vez está atado a la pared.

Halle las configuraciones de equilibrio y discuta el resultado según la relación entre a y l.

Lo que hice yo fue encontrar relaciones entre los ángulos y otras magnitudes sabiendo que el sistema tiene que estar en equilibrio. Por la primera cardinal, sé que:

$mg=T\cos(\alpha)$
$N=T\sin(\alpha)$

donde T es la tensión en la cuerda y N la normal de la pared.

Por la segunda cardinal:

$2Tl\sin (\alpha + \beta)=mgl\sin(\beta)$
$2Nl\cos(\beta)=mgl\sin(\beta)$

Y ahí ya no sé qué hacer. El resultado que se da es:

$\alpha = 0 \Rightarrow \beta = 0, \pi$

$\alpha = \arcsin\sqrt{\frac{4l^2 - a^2}{3a^2}} \Rightarrow \beta= \pi - \arcsin\sqrt{\frac{4l^2-a^2}{3l^2}}$ $(l\leqslant a \leqslant 2l)$

Pero no sé cómo llegar a eso.

Gracias de antemano!

[Umbopa]

Re: Problema de estática

Vale, creo que lo tengo.

Creo que el problema esta bien planteado, solo que no entiendo muy bien de donde has sacado tu 4 ecuación, en teoría deberían ser 3 no? 2 para el sumatorio de fuerzas y 1 para los momentos.

Solo tienes que hacer un poco de trigonometría.

Cogiendo tu tercera ecuación dividiéndola por $2T$, usando la ecuación 1 y la regla del sinus de la suma de ángulos sacas

$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \cos \alpha \sin \beta$ que se puede escribir como

$\frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = - \frac{1}{2}$ o igualmente $\frac{\tan^2 \alpha}{\tan^2 \beta} = \frac{1}{4}$

Ahora usando el teorema del seno $\frac{\sin \alpha}{2 l} = \frac{\sin \beta}{2 a}$ y la identidad $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ puedse obtener fácilmente una ecuación para $\sin^2 \alpha$ o $\sin^2 \beta$. Prueba a ver si te sale y sino pregunta de nuevo.

[Lorentz]

Re: Problema de estática

No he comprobado el método que usa Umbopa, así que no sé si sale de ese modo.
Si sale genial, pero si no, te propongo que lo intentaras mediante formulación lagrangiana, viendo que si no me equivoco tiene 4 ligaduras (una por la inextensibilidad del hilo, otra por la longitud constante de la barra y dos porque (supongo que) la barra sólo rota en un plano, que yo he puesto como YZ). De este modo quedarían $2$ grados de libertad que podrías tomar $\lbrace \alpha,\beta \rbrace$ sin problemas.
De esta forma la posición del centro de masas (suponiendo origen en el punto superior del hilo de longitud $2a$) quedaría determinada por:

$x=0$

$y=2a\sin\alpha-l\sin\beta$

$z=-(2a\cos\alpha+l\cos\beta)$

Si no me he equivocado en nada, ahora ya sería calcular la energía cinética del sólido rígido y la potencial en el centro de masas para construir el lagrangiano y sustituir en las ecuaciones de Lagrange. En estas ya podrías intentar imponer la condición de equilibrio.

Un saludo.

[elmecama]

Re: Problema de estática

Muchas gracias a los dos. Lo pude resolver por el método de Umbopa, luego intentaré con el de Lorentz y comento.

Sin embargo me queda una duda, porque cuando resuelvo llego primero a que $\sin \alpha = \sqrt \frac{4l^2 - a^2}{3a^2}$ y cuando voy a hallar $\sin \beta$ me queda, por el teorema del seno: $\sin \beta = \frac{a}{l} \sqrt \frac{4l^2 - a^2}{3a^2} = \sqrt \frac{4l^2 - a^2}{3l^2}$ , pero en los resultados aparece un $\pi$ que no me doy cuenta de dónde sale...

[Umbopa]

Re: Problema de estática

Ya bueno eso es porque la raíz cuadrada tiene dos posibles valor un positivo y otro negativo. Y ademas piensa que $\sin(x) = \sin (\pi-x)$ y que hay infinitas soluciones a una ecuación de este tipo $\sin(x)=a$