Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

[Richard R Richard]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Disculpen que me he quedado atrasado en el desarrollo de hilo, pero discrepo aqui

... destaco


....$r_{cg}\times F=\tau$....


If F and τ are not orthogonal, then there is no solution; the force of gravity does not have a resultant and cannot be replaced by a single force at any point.

con la definición $r_{cg}\times F=\tau$ es imposible que $F$ y $\tau$ no sean ortogonales ya que por definición matemática


$\tau\cdot F =(r_{cg}\times F)\cdot F=0$


si el producto escalar es nulo o bien uno o ambos vectores son nulos o bien son ortogonales , por lo tanto siempre debe haber solución. Y para mi única.

There are some important special cases where F and τ are guaranteed to be orthogonal, such as if all forces lie in a single plane or are aligned with a single point.[6]

Son los casos que venimos analizando.

esta ecuación no tiene por qué tener soluciones, y si las tienen no son únicas.

Esto sigo sin verlo claro, en los casos que estuvimos considerando el campo es radial , entonces si se cumple la ortogonalidad y hay solución única.

Uno podría plantearse que el torque $\vec \tau' = 0$, pero esto no es posible en general. La expresión (1) no modifica la componente del torque paralela a $\vec P$.

si el torque calculado en el origen y producido por el peso en esta definido como la fórmula que cito arivasm entonces no hay componente paralela al torque ya que peso y torque son ortogonales... Y si esta componente no existe, entonces si es posible anular todo el torque primado, asignando el valor correcto a$\vec\delta$

Nos quedaría por determinar la componente de $\vec \delta$ paralela a $\vec P$. Esta puede obtenerse a partir de la ecuación 2, de forma que $T'_0 = 0$.

En esto estoy de acuerdo

[arivasm]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Sí. La verdad es que se me pasó esa posibilidad.

Pero creo que he encontrado otra objeción. La idea central es que el planteamiento que propones no toma en consideración la dependencia del campo gravitatorio con la posición.

Convertiré previamente algunas de tus expresiones a sistemas discretos de partículas. Usando el subíndice $i=1,2,...,N$ para denotarlas, tenemos que

$T_0=\sum \vec r_i\cdot m_i\vec g_i$

y

$\vec\tau=\sum \vec r_i\times m_i\vec g_i$

Entiendo que las condiciones para determinar el CDG serían las mismas.

El sistema que propongo es el mismo que indiqué en mensajes anteriores: dos masas puntuales unitarias situadas en los puntos (1,0,0) y (0,1,0), en el campo de una masa puntual en el origen, de valor tal que $GM=1$ en el sistema de unidades que se trate, de modo que sus pesos respectivos son (-1,0,0) y (0,-1,0).

El peso del sistema es $\vec P=(-1,-1,0)$, el momento total del los pesos es $\vec\tau=\vec 0$ y $T_0=-2$. Como antes, al ser $\vec\tau=\vec 0$, tenemos que $\vec R^G$ es paralelo a $\vec P$, lo que significa que $\vec R^G=(x,x,0)$. De la condición $\vec R^G\cdot\vec P=T_0$ resulta que $x=1$, de modo que el centro de gravedad debería ser el punto (1,1,0). Sin embargo, una masa 2 situada en ese punto no pesará (-1,-1,0), sino $(-1,-1,0)/\sqrt{2}$

Saludos, y gracias por participar en este juego!

[carroza]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Una primera dificultad que encuentro con esta definición es el caso en que $\vec P\neq\vec 0$, mientras que $\vec\tau=\vec 0$: la única manera de que $\vec R^G \times \vec P$ sea paralelo a $\vec P$ es que $\vec R^G=\vec 0$.

Hola. Hay otra manera, y es que $\vec R^G$ sea paralelo a $\vec P$.

Este sería el caso relevante para el ejemplo que pones. Ahi el centro de gravedad estaría a una distancia $R^G$, a lo largo de la dirección de $\vec P$, y esa distancia sería $R^G = T_0/P$.

Saludos

[arivasm]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Con esto tendríamos una definición para el centro de gravedad: Este se definiría como el centro de coordenadas con respecto al cual el torque $\tau'$ es paralelo a $\vec P$, y el escalar $T'_0=0$. Y se determinaria, a partir de los valores de $\tau$ y $T_0$ de un sistema con origen arbitrario, de

En particular,

$\vec \tau - (\vec R^G \times \vec P)$ paralelo a $\vec P$

$T_0 - (\vec R^G \cdot \vec P) = 0$

Una primera dificultad que encuentro con esta definición es el caso en que $\vec P\neq\vec 0$, mientras que $\vec\tau=\vec 0$: la única manera de que $\vec R^G \times \vec P$ sea paralelo a $\vec P$ es que $\vec R^G=\vec 0$.

Esto puede contradecir la idea fundamental de que el CDG es el punto que actúa como "centro de los pesos" del objeto.

Un ejemplo sería el de un sistema de masas no simétrico respecto del origen de coordenadas, lugar este último donde está situada una masa puntual que es la creadora del campo gravitatorio que experimenta el sistema. Está claro que entonces $\vec P\neq\vec 0$ mientras que $\vec \tau =\int d^3 \vec r \rho(\vec r) (\vec r \times \vec g(\vec r))=\vec 0$, pues para todos los elementos de masa del objeto será $\vec r \times \vec g(\vec r)=\vec 0$.

[carroza]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Hola a todos.

Definir centro de gravedad como aquel punto que cumple que $\vec R_g \times \vec P = \tau$, donde $\vec P$ es el peso total y $\vec \tau$ es el torque total, no es una buena idea, en general, ya que como bien dice arivasm, esta ecuación no tiene por qué tener soluciones, y si las tienen no son únicas.

La definción que yo propongo, tiene solución, y esa solución es única (supuesto que el campo varía de forma continua, y que no hay dos puntos, dentro del objeto, en los que el campo gravitatorio tome el mismo valor, como vector).

Además, si el campo gravitatorio, en el interior del objeto, puede aproximarse de tal manera que dependa linealmente de las coordenadas, entonces puede demostrarse que el centro de gravedad coincide con el centro de masas.

Evidentemente, si el campo gravitatorio $\vec g(\vec r)$ fuera estrictamente uniforme $\vec g(\vec r)= \vec g(\vec r_{CM})$ en el interior del objeto , uno no podría determinar el centro de gravedad de la forma que yo sugería, pero basta con que uno considere una pequeña variación lineal de las tres componentes del campo con respecto a las coordenadas, para que uno pueda determinar univocamente el centro de gravedad, que en este caso coincidiría con el centro de masas.

Si se consideran términos no lineales en el desarrollo del campo gravitatorio, entonces el centro de gravedad, según mi definición, no coincidiría con el centro de masas.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Hola de nuevo.

Me ha intrigado el problema del centro de gravedad, y aqui os presentaría una forma unívoca de definirlo, y determinarlo. A ver que os parece.

Consideremos un objeto, con distribución de densidad $\rho(\vec r)$, definida con respecto a un origen de coodenadas arbitrario. Su centro de masas vendrá dado por el vector
$\vec R^{M} = {1 \over M}\int d^3 \vec r \rho(\vec r) \vec r$, donde la masa total es $M = \int d^3 \vec r \rho(\vec r)$

Ahora consideramos que ese objeto está metido en un campo gravitatorio $\vec g(\vec r)$. El peso total del objeto es $\vec P = \int d^3 \vec r \rho(\vec r) \vec g(\vec r)$

Este peso determinará el movimiento del centro de masas del objeto. No obstante, no determina si el objeto rota, o el objeto se comprime, o el objeto se deforma. Para ver si esto ocurre, se introduce el tensor:

$T_{ij} = \int d^3 \vec r \rho(\vec r) r_i g_j(\vec r)$

Aqui, los indices i,j representan las coordenadas x,y,z del vector $\vec r$, y del campo gravitatorio $\vec g(\vec r)$. El tensor $T_{ij}$ tiene 9 componentes, que determinan, en coordenadas cartesianas, cómo se distribuyen las fuerzas gravitatorias en el objeto.

De estas 9 componentes, se puede extraer un escalar $T_0$ (una componente), un vector $\vec \tau$ (tres componentes), y un tensor simétrico, sin traza (5 componentes).

Estas componentes tienen su signigicado: $T_0$ tiende a expandir el objeto, separándolo del origen. $\vec \tau$ tiende a rotar el objeto, con respecto al origen. El tensor simétrico, sin traza (5 componentes) tiende a deformar el objeto, alargándolo en una dirección y comprimiéndolo en una perpendicular, siempre con respecto al origen.

En concreto, $T_0 = \sum_i T_{ii}$; $\tau_i = \sum_{jk} e_{ijk} T_{jk}$. El tensor totalmente antisimetrico $e_{ijk}$ vale 0 si se repite algun indice, 1 si $(i,j,k)$ son $(x,y,z)$ o una permitación circular, y -1 en el resto de los casos.

De hecho, $\vec \tau =\int d^3 \vec r \rho(\vec r) (\vec r \times \vec g(\vec r))$, es el momento de las fuerzas, o Torque, con respecto al origen.

Igualmente $T_0 =\int d^3 \vec r \rho(\vec r) (\vec r \cdot \vec g(\vec r))$

Si cambiamos el origen, por una cantidad $\vec \delta$, las nuevas coordenadas serán $\vec r' = \vec r - \vec \delta$, de forma que el peso total $\vec P$será el mismo, pero el tensor $T_{ij}$ se verá modificado. Así, es facil ver desde la definición que

$T'_{ij} = T_{ij} - \delta_i P_j$.

En particular, $\vec \tau' =\vec \tau - (\vec \delta \times \vec P)$ (1)

$T'_0 = T_0 - (\vec \delta \cdot \vec P)$ (2)

Con estas relaciones, podríamos buscar un sistema de referencia, definido por un "centro de gravedad" $\vec \delta= \vec R^G$ en el que el tensor $T'_{ij}$ fuera los más sencillo posible.

Uno podría plantearse que el torque $\vec \tau' = 0$, pero esto no es posible en general. La expresión (1) no modifica la componente del torque paralela a $\vec P$. Por tanto, si en el sistema de coordenadas inicial el torque tiene una componente a lo largo de $\vec P$, lo seguirá teniendo siempre, aunque se cambie el origen. Unsando la ecuación (1) pueden determinarse las dos componentes de $\vec \delta$ perpendiculares a $\vec P$, de forma que cancelen las componentes de $\vec \tau$ perpendiculares a $\vec P$.

Nos quedaría por determinar la componente de $\vec \delta$ paralela a $\vec P$. Esta puede obtenerse a partir de la ecuación 2, de forma que $T'_0 = 0$.

Con esto tendríamos una definición para el centro de gravedad: Este se definiría como el centro de coordenadas con respecto al cual el torque $\tau'$ es paralelo a $\vec P$, y el escalar $T'_0=0$. Y se determinaria, a partir de los valores de $\tau$ y $T_0$ de un sistema con origen arbitrario, de

En particular,

$\vec \tau - (\vec R^G \times \vec P)$ paralelo a $\vec P$

$T_0 - (\vec R^G \cdot \vec P) = 0$

A partir de esto es facil ver que si el campo es homogéneo, $T_{ij} = R^{M}_i P_j$, con lo que resulta $T_0 = (\vec R^M \cdot \vec P)$ y $\vec \tau = (\vec R^M \times \vec P)$
de donde se deduce que el centro de gravedad coincide con el centro de masas.

Gracias a los que llegueis al final del post

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Hola Arivasm el centro de masas de tres esferas idénticas ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero está fuera de las tres esferas y siempre en el mismo lugar

Pero es posible ubicar a las tres esferas en distintas disposiciones espaciales(rotaciones) con respecto a la fuente gravitatoria, incluso rodeandola y el centro de gravedad será distinto en cada caso, porque no depende exclusivamente de la geometría y composición del objeto, si no de la dirección e intensidad del campo gravitatorio sobre las esferas.

Lo que no termino de imaginar es un ejemplo en que ninguna fuerza pueda reemplazar a la acción de la gravedad.

[arivasm]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Entiendo que de esa manera el punto no queda unívocamente definido. El ejemplo de un campo uniforme es obvio al respecto: todos los puntos del espacio cumplirían esa condición. De ahí que sea necesaria una segunda: el momento de los pesos respecto del CG es nulo.

Buscando, me encuentro con esta interesante entrada en la Wikipedia inglesa: https://en.wikipedia.org/wiki/Center...uniform_fields y que apunta a los motivos por los que no es posible tener una expresión general para el cálculo de la posición del centro de gravedad en un campo gravitatorio arbitrario.

Copio y pego, y destaco

When a body is affected by a non-uniform external gravitational field, one can sometimes define a center of gravity relative to that field that will act as a point where the gravitational force is applied. Textbooks such as The Feynman Lectures on Physics characterize the center of gravity as a point about which there is no torque. In other words, the center of gravity is a point of application for the resultant force.^[3] Under this formulation, the center of gravity r_cg is defined as a point that satisfies the equation

${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }\times \mathbf {F} ={\boldsymbol {\tau }},}$
where F and τ are the total force and torque on the body due to gravity.^[4]

One complication concerning r_cg is that its defining equation is not generally solvable. If F and τ are not orthogonal, then there is no solution; the force of gravity does not have a resultant and cannot be replaced by a single force at any point.^[5] There are some important special cases where F and τ are guaranteed to be orthogonal, such as if all forces lie in a single plane or are aligned with a single point.^[6]

If the equation is solvable, there is another complication: its solutions are not unique. Instead, there are infinitely many solutions; the set of all solutions is known as the line of action of the force. This line is parallel to the weight F. In general, there is no way to choose a particular point as the unique center of gravity.^[7] A single point may still be chosen in some special cases, such as if the gravitational field is parallel or spherically symmetric. These cases are considered below.

[carroza]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Hola.

¿Qué hay de malo en la definición: Centro de gravedad de un objeto, en un campo gravitatorio arbitrario $\vec g(\vec r)$, es el punto $\vec R_g$ tal que $\vec P = \vec g(\vec R_g) M$, donde $\vec P$ es la fuerza total que el campo gravitatorio ejerce sobre el objeto, y M es la masa total. En concreto, si $\rho(\vec r)$ es la densidad

$\vec P = \int d^3\vec r \rho(\vec r)\vec g(\vec r)$

$M = \int d^3\vec r \rho(\vec r)$


Saludos

[arivasm]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Tan solo comentar que no logro encontrar la expresión que proporcione el centro de gravedad cuando el campo es originado por más de una partícula, y así animar a que otros también lo intenten.

Además he corregido en el post #16 un error que afectaba a la expresión de la posición del centro de gravedad (la fracción en la raíz estaba escrita "patas arriba")

[arivasm]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

...no llego a tu resultado

$x_{cg}=y_{cg}=\dfrac 1{\sqrt[4] 2}=0.84$

Sí. El tuyo es el correcto. El cálculo cada vez se me da peor...

[Richard R Richard]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Uy , si tienes razon, aunque veo lo que tu dices no se en que me pierdo

$\vec P=\dst\sum m_i\vec g_i=1(-1,0,0)+1(0,-1,0)=(-1,-1,0)=\sqrt2 \ee^{i\pi\frac54}$


si $\vec g=-\dfrac{GM}{r^3}\vec r$

$\dst\vec P=\vec g_{cg}\sum m_i =\left (-\dfrac{GM}{r^3}\vec r \right )(1+1)=2 \left (-\dfrac{1}{\sqrt{x_{cg}^2+y_{cg}^2}^3}\right)(x_{cg},y_{cg},0)=(-1,-1,0)$

de aqui tengo dos ecuaciones

$-\dfrac{2x_{cg}}{\sqrt{x_{cg}^2+y_{cg}^2}^3}=-1$

$-\dfrac{2y_{cg}}{\sqrt{x_{cg}^2+y_{cg}^2}^3}=-1$

de donde se puede ver que $x_{cg}=y_{cg}$

entonces

$-\dfrac{2x_{cg}}{\sqrt{2x_{cg}^2}^3}=-1$



$\dfrac{1}{\sqrt2 x_{cg}^2}=1$

ahora vi donde me equivocaba (me comi el cuadrado ), pero igual no llego a tu resultado

$x_{cg}=y_{cg}=\dfrac 1{\sqrt[4] 2}=0.84$

tienes rázon el CM esta sobre la recta que une las masas y el CG no tiene porque , que es lo que queremos demostrar.

creo que ahora no me vuelvo a equivocar, pues el modulo de P me da $\sqrt 2$ como debe ser.


saludos

[arivasm]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Por que el centro de gravedad no va a esta sobre la recta que une ambas masas?

si se pone en cg toda la masa debe producir el mismo peso que la suma de los pesos individuales no?

En el punto medio del segmento que definen ambas masas, $(\frac 12,\frac 12,0)$, la gravedad vale (teniendo en cuenta que con los datos que puse $GM'=1$) $g=2$, luego una masa de valor 2 pesará 4, mientras que el peso del sistema era (-1,-1,0), es decir $\sqrt{2}$.

De hecho, ése debería ser uno de los ejemplos en los que no es lo mismo centro de masa que centro de gravedad.

[Richard R Richard]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Por ejemplo, ¿cuál es el centro de gravedad de un sistema formado por dos masas de valor 1 (omitimos las unidades, por razones obvias) situadas en los puntos (1,0,0) y (0,1,0) en los cuales el campo gravitatorio vale (-1,0,0) y (0,-1,0) respectivamente*?

*He puesto esos signos menos para que nadie me pueda decir que ese campo no puede existir: sería el caso del campo creado por una masa en el origen de coordenadas.

Definido asi el campo le da la razón a skinet, hay un plano de puntos cuya sumatoria de momentos es nula, es el plano cuyo vector unitario normal es $(-\dfrac{1}{\sqrt 2},\dfrac{1}{\sqrt 2},0)$, que incluye el punto $(\frac 12,\frac 12,0)$, que es para mi es el CG, la condición adicional sería el que minimiza la distancia a cada masa?

De esta manera, el método que propongo sería de la siguiente forma:

• Determinar el peso total del sistema
• Encontrar un punto que cumpla la condición (2)
• Encontrar qué punto de la recta (8) satisface la condición (1)

No hallo nada que no te de la razón, así que debe ser cierto....

Añado: Si no me equivoco, el cdg del sistema que propuse en mi mensaje anterior sería el $\left(\frac{1}{2^{3/4}},\frac{1}{2^{3/4}},0\right)=(0.59,0.59,0)$

Por que el centro de gravedad no va a esta sobre la recta que une ambas masas?

si se pone en cg toda la masa debe producir el mismo peso que la suma de los pesos individuales no?

[arivasm]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Antes de nada, quizá deba retirar la afirmación de que el cdg no está bien definido.

Voy a exponer cómo creo que se puede determinar el centro de gravedad (cdg). El razonamiento no es completo. Sólo intentaré marcar una dirección.

Definamos el centro de gravedad como lo hace wikipedia:

El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:

$M \vec g( \vec r_{ c.g.} ) = \int_V \vec g ( \vec r ) \rho ( \vec r ) \dd V$
$\vec r_{ c.g.}\times M \vec g( \vec r_{ c.g.} ) = \int_V \vec r \times \vec g ( \vec r ) \rho ( \vec r ) \dd V$

donde M es la masa total del cuerpo.

Permitidme que use el subíndice 0 para referirme al cdg y que traslade la definición anterior a un sistema de $N$ partículas: el cdg sería entonces el punto del espacio que satisface estas dos condiciones:

$$M \vec g_0 = \sum m_i \vec g_i$$

$$\vec r_0\times M\vec g_0=\sum \vec r_i \times m_i \vec g_i$$

donde $M=\sum m_i$, $\vec g_0=\vec g(\vec r_0)$ y $\vec g_i = \vec g(\vec r_i)$.


Llamemos $\vec P$ al peso total del sistema,

$$\vec P=\sum m_i\vec g_i$$

Las condiciones anteriores pueden escribirse

$$M\vec g_0=\vec P$$

$$\vec r_0\times \vec P=\sum \vec r_i \times m_i \vec g_i$$

Comencemos apreciando que la condición (2) o (5) no define un solo punto, sino una recta: supongamos que existe otro punto, de posición $\vec r$, además de $\vec r_0$, que satisface (5):

$$\vec r\times \vec P=\sum \vec r_i \times m_i \vec g_i$$

Restando miembro a miembro (6) y (5) encontramos que

$$(\vec r-\vec r_0)\times\vec P=\vec 0$$

lo que significa que $\vec r-\vec r_0$ es paralelo al vector $\vec P$, de manera que todos los puntos de la forma

$$\vec r=\vec r_0+\lambda\vec P$$

cumplirán la condición (2) o (5). En definitiva, los puntos que satisfacen dicha condición constituyen una recta de vector director el peso total del sistema.


De esta manera, el método que propongo sería de la siguiente forma:

• Determinar el peso total del sistema
• Encontrar un punto que cumpla la condición (2)
• Encontrar qué punto de la recta (8) satisface la condición (1)

Por supuesto, eso significa que no habría una expresión general para la determinación directa del cdg, pues requiere del conocimiento de la forma particular del campo gravitatorio $\vec g(\vec r)$.

Vamos a ver un ejemplo muy concreto: el de un sistema de partículas en el campo gravitatorio que origina una masa $M'$ situada en el origen de coordenadas:

$\vec g_i=-G\dfrac{M'}{r_i^3}\vec r$

Es evidente que uno de los puntos que satisface la condición (2) o (5) es el origen de coordenadas, pues en este caso $\vec r_i\times\vec g_i=0$. Por tanto, el cdg será un punto de la recta $\vec r=\lambda \vec P$.

Para encontrarlo, simplemente bastará con aplicar la condición de que

$\vec P=M\vec g_0=-G\dfrac{MM'}{r_0^3}\vec r_0$

de manera que

$\vec r_0=-\sqrt{\dfrac{GMM'}{P}}\ \dfrac{\vec P}{P}$

Y esto es todo lo que tengo por el momento. Tengo la intuición, quizá incorrecta, de que si el campo es creado por un sistema de masas ${M'}_i$ quizá sea posible determinar la posición del cdg a partir de las de los cdg en los campos creados por cada una de las $M_i$. Pero aún tengo que pelearme con el papel para explorarlo

Añado: Si no me equivoco, el cdg del sistema que propuse en mi mensaje anterior sería el $\left(\frac{1}{2^{3/4}},\frac{1}{2^{3/4}},0\right)=(0.59,0.59,0)$

Añado más: sí que me equivoqué. Richard señala el valor correcto más adelante.

[carroza]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Hola.

A mi me valdria como definición de centro de gravedad aquel punto tal que el valor del campo gravitatorio, en dicho punto, es igual al cociente entre la fuerza gravitatoria y la masa del objeto. Entiendo que es la primera definición que usa Wikipedia.

Entiendo que esa definición es unica, sujeto solo a la condición de que el campo gravitatorio varíe monotonamente a lo largo del objeto.

Además, en el caso de que el campo gravitatorio varíe muy poco en la dimension del objeto, centro de gravedad coincide con centro de masas.

Saludos